Способност за математическо мисленеедна от най-благородните човешки способности.
Ирландският драматург Бърнард Шоу
Формулата на Херон
В училищната математика формулата на Heron е много популярна, използването на която ви позволява да изчислите площта на триъгълник по трите му страни. В същото време малко ученици знаят, че има подобна формула за изчисляване на площта на четириъгълници, вписани в кръг. Такава формула се нарича формула на Брахмагупта. Съществува и малко известна формула за изчисляване на площта на триъгълник от трите му височини, чието извеждане следва от формулата на Heron.
Изчисляване на площта на триъгълниците
Пуснете в триъгълникстрани и . Тогава е валидна следната теорема (формулата на Херон).
Теорема 1.
Където .
Доказателство.При извеждането на формула (1) ще използваме добре познатите геометрии трик формули
, (2)
. (3)
От формули (2) и (3) получаваме и . От тогава
. (4)
Ако обозначим тогава формула (1) следва от равенство (4). Теоремата е доказана.
Обмислете сега въпроса за изчисляване на площта на триъгълникпредвид това, че са известни трите му височини, И .
Теорема 2.Площта се изчислява по формулата
. (5)
Доказателство.Тъй като , и , тогава
В този случай от формула (1) получаваме
или
Формула (5) следва от това. Теоремата е доказана.
Изчисляване на площта на четириъгълниците
Помислете за обобщение на формулата на Heron за случая на изчисляване на площта на четириъгълниците. Веднага обаче трябва да се отбележи, че такова обобщение е възможно само за четириъгълници, които са вписани в кръг.
Нека четириъгълникаима страни , , и .
Ако е четириъгълник, вписан в кръг, тогава Теорема 3 (формулата на Брахмагупта) е в сила.
Теорема 3.Квадрат изчислено по формулата
Където .
Доказателство.Начертайте диагонал в четириъгълник и получете два триъгълника и . Ако приложим косинусовата теорема към тези триъгълници, което е еквивалентно на формула (3), тогава можем да напишем
Тъй като четириъгълникът е вписан в окръжност, сумата от противоположните му ъгли е , т.е. .
Защото или тогава от (7) получаваме
Или
. (8)
От тогава . Въпреки това и следователно
Тъй като , то формулите (8) и (9) предполагат
Ако поставим, тогава от тук получаваме формула (6). Теоремата е доказана.
Ако вписаният четириъгълнике в същото време описано, тогава формула (6) е значително опростена.
Теорема 4.Площта на четириъгълник, вписан в единия кръг и описан около другия, се изчислява по формулата
. (10)
Доказателство.Тъй като окръжност е вписана в четириъгълник, равенствата
В този случай , , , и формула (6) лесно се преобразува във формула (10). Теоремата е доказана.
Нека да преминем към разглеждането на примери за геометрични задачи, чието решение се извършва въз основа на прилагането на доказаните теореми.
Примери за решаване на проблеми
Пример 1. Намерете област, ако .
Решение.Тъй като тук , съгласно теорема 1 получаваме
Отговор: .
Забележка, ако страните на триъгълникаприемат ирационални значения, след това изчисляването на неговата площс помощта на формула (1), обикновено , е неефективен. В този случай е целесъобразно формулите (2) и (3) да се прилагат директно.
Пример 2Намерете областта, ако , и .
Решение.Като вземем предвид формули (2) и (3), получаваме
Тъй като , тогава или .
Отговор: .
Пример 3Намерете областта, ако , и .
Решение.защото,
тогава от теорема 2 следва, че .
Отговор: .
Пример 4Триъгълникът има страни и . Намерете и , Където са радиусите на описаната и вписана окръжност, съответно.
Решение.Нека първо изчислим площта. Тъй като , то от формула (1) получаваме .
Известно е, че и . Ето защо .
Пример 5Намерете площта на четириъгълник, вписан в окръжност, ако , , и .
Решение.От условията на примера следва, че. Тогава, съгласно теорема 3, получаваме .
Пример 6Намерете лицето на четириъгълник, вписан в кръг със страни , , и .
Решение.Тъй като и , Тогава равенството е в сила в четириъгълника. Известно е обаче, че наличието на такова равенство е необходимо и достатъчно условие, за да може окръжност да бъде вписана в даден четириъгълник. В тази връзка формула (10) може да се използва за изчисляване на площта, от която следва .
За самостоятелна и висококачествена подготовка за входни тестове в областта на решаването на задачи от училищната геометрия можете ефективно да използвате учебници, изброени в списъка с препоръчителна литература.
1. Готман Е.Г. Задачи на планиметрията и методи за тяхното решаване. – М.: Просвещение, 1996. – 240 с.
2. Кулагин Е.Д. , Федин С.Н. Геометрия на триъгълник в задачи. - М .: КД "Либроком" / URSS, 2009. - 208 с.
3. Сборник задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения / Изд. M.I. Сканави. - М .: Светът и образованието, 2013. - 608 с.
4. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. - 216 с.
Имате ли някакви въпроси?
За да получите помощ от учител -.
blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.
Формула Жерона Формула на героя
изразява площта стриъгълник по отношение на дължините на трите му страни А, bИ си полупериметър Р = (А + b + с)/2: . Кръстен на Херон от Александрия.
ХЕРОНА ФОРМУЛАHERON FORMULA, изразява района Стриъгълник по отношение на дължините на трите му страни а, bИ ° Си полупериметър П = (а + b + ° С)/2
Кръстен на Херон от Александрия.
енциклопедичен речник. 2009 .
Вижте какво е "формулата на Герон" в други речници:
Изразява площта S на триъгълник по отношение на дължините на трите му страни a, b и c и полупериметъра P = (a + b + c) / 2 Кръстен на Херон от Александрия ... Голям енциклопедичен речник
Формула, изразяваща площта на триъгълник по отношение на трите му страни. А именно, ако a, b, c са дължините на страните на триъгълника, а S е неговата площ, тогава G. f. има формата: където p означава полупериметъра на триъгълника G. f. ... ...
Формулата, изразяваща площта на триъгълник по отношение на неговите страни a, b, c: където Кръстен на Херон (ок. 1 век сл. Хр.), А. Б. Иванов ... Математическа енциклопедия
Изразява площта 5 на триъгълник по отношение на дължините на трите му страни a, b и c и полупериметъра p \u003d (a + b + c) / 2: s \u003d квадрат. корен p(p a)(p b)(p c). Кръстен на Херон от Александрия... Естествени науки. енциклопедичен речник
- ... Уикипедия
Позволява ви да изчислите площта на триъгълник (S) от неговите страни a, b, c: където p е полупериметърът на триъгълника: . Доказателство, че ъгълът е триъгълен ... Wikipedia
Изразява площта на четириъгълник, вписан в окръжност, като функция от дължините на страните му. Ако вписан четириъгълник има дължини на страните и полупериметър, тогава неговата площ е ... Wikipedia
В тази статия липсват връзки към източници на информация. Информацията трябва да може да се провери, в противен случай може да бъде поставена под съмнение и премахната. Можете да редактирате тази статия, за да включите връзки към авторитетни източници. Този знак ... ... Wikipedia
- (Heronus Alexandrinus) (години на раждане и смърт неизвестни, вероятно 1 век), древногръцки учен, работил в Александрия. Автор на трудове, в които систематично очертава основните постижения на древния свят в областта на приложната механика, V ... ... Велика съветска енциклопедия
Александриец (Heronus Alexandrinus) (години на раждане и смърт неизвестни, вероятно 1 век), древногръцки учен, работил в Александрия. Автор на произведения, в които систематично очертава основните постижения на древния свят в областта на ... ... Велика съветска енциклопедия
Тази формула ви позволява да изчислите площта на триъгълник по неговите страни a, b и c:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-s),където p е полупериметърът на триъгълника, т.е. p = (a + b + c)/2.
Формулата е кръстена на древногръцкия математик Херон от Александрия (около 1 век). Херон разглежда триъгълници с цели страни, чиито площи също са цели числа. Такива триъгълници се наричат херонови. Например, това са триъгълници със страни 13, 14, 15 или 51, 52, 53.
Има аналози на формулата на Херон за четириъгълници. Поради факта, че проблемът за построяване на четириъгълник по неговите страни a, b, c и d има повече от едно решение, в общия случай площта на четириъгълника не е достатъчна, за да се знаят дължините на страните. Трябва да въведете допълнителни параметри или да наложите ограничения. Например, площта на вписан четириъгълник се намира по формулата: S \u003d √ (p-a) (p-b) (p-c) (p-d)
Ако четириъгълникът е вписан и описан едновременно, неговата площ е по по-проста формула: S=√(abcd).
Александрийска чапла - гръцки математик и механик.
Той е първият, който изобретява автоматични врати, автоматичен куклен театър, автомат, бързострелен самозареждащ се арбалет, парна турбина, автоматични декори, уред за измерване дължината на пътищата (древен одометър) и др. Той е първият, който създава програмируеми устройства (вал с щифтове с въже, навито около него).
Учил е геометрия, механика, хидростатика, оптика. Основни произведения: Метрика, Пневматика, Автотопоетика, Механика (работата е запазена изцяло в арабски превод), Катоптрика (науката за огледалата; запазена е само в латински превод) и др. земномерство, всъщност основано на използването на правоъгълни координати. Херон използва постиженията на своите предшественици: Евклид, Архимед, Стратон от Лампсак. Много от книгите му са безвъзвратно изгубени (свитъците се съхраняват в Александрийската библиотека).
В трактата "Механика" Херон описва пет вида най-прости машини: лост, порта, клин, винт и блок.
В трактата "Пневматика" Херон описва различни сифони, гениално подредени съдове, автомати, задвижвани от сгъстен въздух или пара. Това е еолипил, който е първата парна турбина - топка, въртяща се от силата на струи водна пара; автомат за отваряне на врати, автомат за светена вода, противопожарна помпа, воден орган, механичен куклен театър.
Книгата "За диоптъра" описва диоптър - най-простият уред, използван за геодезическа работа. Герон излага в своя трактат правилата за измерване на земята, основани на използването на правоъгълни координати.
В "Katoptrik" Heron обосновава праволинейността на светлинните лъчи с безкрайно висока скорост на тяхното разпространение. Heron разглежда различни видове огледала, като обръща специално внимание на цилиндричните огледала.
„Метриката“ на Херон и извлечените от нея „Геометрия“ и „Стереометрия“ са справочници по приложна математика. Сред информацията, съдържаща се в информацията "Метрика":
Формули за площи на правилни многоъгълници.
Обем на правилни многостени, пирамида, конус, пресечен конус, тор, сферичен сегмент.
Формулата на Херон за изчисляване на площта на триъгълник от дължините на страните му (открита от Архимед).
Правила за числено решаване на квадратни уравнения.
Алгоритми за извличане на квадратни и кубични корени.
Книгата на Херон "Дефиниции" е обширна колекция от геометрични дефиниции, в по-голямата си част съвпадащи с дефинициите на Евклидовите "Елементи".
Способност за математическо мисленеедна от най-благородните човешки способности.
Ирландският драматург Бърнард Шоу
Формулата на Херон
В училищната математика формулата на Heron е много популярна, използването на която ви позволява да изчислите площта на триъгълник по трите му страни. В същото време малко ученици знаят, че има подобна формула за изчисляване на площта на четириъгълници, вписани в кръг. Такава формула се нарича формула на Брахмагупта. Съществува и малко известна формула за изчисляване на площта на триъгълник от трите му височини, чието извеждане следва от формулата на Heron.
Изчисляване на площта на триъгълниците
Пуснете в триъгълникстрани и . Тогава е валидна следната теорема (формулата на Херон).
Теорема 1.
Където .
Доказателство.При извеждането на формула (1) ще използваме добре познатите геометрии трик формули
, (2)
. (3)
От формули (2) и (3) получаваме и . От тогава
. (4)
Ако обозначим тогава формула (1) следва от равенство (4). Теоремата е доказана.
Обмислете сега въпроса за изчисляване на площта на триъгълникпредвид това, че са известни трите му височини, И .
Теорема 2.Площта се изчислява по формулата
. (5)
Доказателство.Тъй като , и , тогава
В този случай от формула (1) получаваме
или
Формула (5) следва от това. Теоремата е доказана.
Изчисляване на площта на четириъгълниците
Помислете за обобщение на формулата на Heron за случая на изчисляване на площта на четириъгълниците. Веднага обаче трябва да се отбележи, че такова обобщение е възможно само за четириъгълници, които са вписани в кръг.
Нека четириъгълникаима страни , , и .
Ако е четириъгълник, вписан в кръг, тогава Теорема 3 (формулата на Брахмагупта) е в сила.
Теорема 3.Квадрат изчислено по формулата
Където .
Доказателство.Начертайте диагонал в четириъгълник и получете два триъгълника и . Ако приложим косинусовата теорема към тези триъгълници, което е еквивалентно на формула (3), тогава можем да напишем
Тъй като четириъгълникът е вписан в окръжност, сумата от противоположните му ъгли е , т.е. .
Защото или тогава от (7) получаваме
Или
. (8)
От тогава . Въпреки това и следователно
Тъй като , то формулите (8) и (9) предполагат
Ако поставим, тогава от тук получаваме формула (6). Теоремата е доказана.
Ако вписаният четириъгълнике в същото време описано, тогава формула (6) е значително опростена.
Теорема 4.Площта на четириъгълник, вписан в единия кръг и описан около другия, се изчислява по формулата
. (10)
Доказателство.Тъй като окръжност е вписана в четириъгълник, равенствата
В този случай , , , и формула (6) лесно се преобразува във формула (10). Теоремата е доказана.
Нека да преминем към разглеждането на примери за геометрични задачи, чието решение се извършва въз основа на прилагането на доказаните теореми.
Примери за решаване на проблеми
Пример 1. Намерете област, ако .
Решение.Тъй като тук , съгласно теорема 1 получаваме
Отговор: .
Забележка, ако страните на триъгълникаприемат ирационални значения, след това изчисляването на неговата площс помощта на формула (1), обикновено , е неефективен. В този случай е целесъобразно формулите (2) и (3) да се прилагат директно.
Пример 2Намерете областта, ако , и .
Решение.Като вземем предвид формули (2) и (3), получаваме
Тъй като , тогава или .
Отговор: .
Пример 3Намерете областта, ако , и .
Решение.защото,
тогава от теорема 2 следва, че .
Отговор: .
Пример 4Триъгълникът има страни и . Намерете и , Където са радиусите на описаната и вписана окръжност, съответно.
Решение.Нека първо изчислим площта. Тъй като , то от формула (1) получаваме .
Известно е, че и . Ето защо .
Пример 5Намерете площта на четириъгълник, вписан в окръжност, ако , , и .
Решение.От условията на примера следва, че. Тогава, съгласно теорема 3, получаваме .
Пример 6Намерете лицето на четириъгълник, вписан в кръг със страни , , и .
Решение.Тъй като и , Тогава равенството е в сила в четириъгълника. Известно е обаче, че наличието на такова равенство е необходимо и достатъчно условие, за да може окръжност да бъде вписана в даден четириъгълник. В тази връзка формула (10) може да се използва за изчисляване на площта, от която следва .
За самостоятелна и висококачествена подготовка за входни тестове в областта на решаването на задачи от училищната геометрия можете ефективно да използвате учебници, изброени в списъка с препоръчителна литература.
1. Готман Е.Г. Задачи на планиметрията и методи за тяхното решаване. – М.: Просвещение, 1996. – 240 с.
2. Кулагин Е.Д. , Федин С.Н. Геометрия на триъгълник в задачи. - М .: КД "Либроком" / URSS, 2009. - 208 с.
3. Сборник задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения / Изд. M.I. Сканави. - М .: Светът и образованието, 2013. - 608 с.
4. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. - 216 с.
Имате ли някакви въпроси?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.
Предварителна информация
Като начало въвеждаме информация и обозначения, които ще са необходими в това, което следва.
Ще разгледаме триъгълник $ABC$ с остри ъгли $A$ и $C$. Начертайте височина $BH$ в него. Нека въведем следната нотация: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $ (фиг. 1).
Снимка 1.
Въвеждаме без доказателство теоремата за площта на триъгълника.
Теорема 1
Площта на триъгълник се определя като половината от произведението на дължината на неговата страна и начертаната към нея височина, т.е.
Формулата на Херон
Въвеждаме и доказваме теорема за намиране на площта на триъгълник при три известни страни. Тази формула се нарича Формули на Херон.
Теорема 2
Нека са ни дадени три страни на триъгълник $a,\ b\ и\ c$. Тогава площта на този триъгълник се изразява по следния начин
където $p$ е полупериметърът на дадения триъгълник.
Доказателство.
Ще използваме нотацията, въведена на фигура 1.
Да разгледаме триъгълника $ABH$. По Питагоровата теорема получаваме
Очевидно е, че $HC=AC-AH=b-x$
Помислете за триъгълника $\CBH$. По Питагоровата теорема получаваме
\ \ \
Приравнете стойностите на квадрата на височината от двете получени отношения
\ \ \
От първото уравнение намираме височината
\ \ \ \ \ \
Тъй като полупериметърът е равен на $p=\frac(a+b+c)(2)$, т.е. $a+b+c=2p$, тогава
\ \ \ \
По теорема 1 получаваме
Теоремата е доказана.
Примери за задачи за използване на формулата на Heron
Пример 1
Намерете лицето на триъгълник, ако страните му са $3$ cm, $6$ cm и $7$ cm.
Решение.
Нека първо намерим полупериметъра на този триъгълник
По теорема 2 получаваме
Отговор:$4\sqrt(5)$.
