Sposobnost matematičnega razmišljanja ena najplemenitejših človeških sposobnosti.
Irski dramatik Bernard Shaw
Heronova formula
V šolski matematiki je Heronova formula zelo priljubljena, katere uporaba vam omogoča, da izračunate površino trikotnika vzdolž njegovih treh strani. Hkrati malo študentov ve, da obstaja podobna formula za izračun površine štirikotnikov, vpisanih v krog. Takšna formula se imenuje Brahmaguptina formula. Obstaja tudi malo znana formula za izračun površine trikotnika iz njegovih treh višin, katere izpeljava izhaja iz Heronove formule.
Izračun površine trikotnikov
Spustite v trikotnik strani, in . Potem velja naslednji izrek (Heronova formula).
1. izrek.
Kje .
Dokaz. Pri izpeljavi formule (1) bomo uporabili znane geometrije trične formule
, (2)
. (3)
Iz formul (2) in (3) dobimo in . Od takrat
. (4)
Če določimo potem formula (1) sledi iz enakosti (4). Izrek je dokazan.
Razmislite zdaj o vprašanju izračuna površine trikotnika glede na to , da so znane njegove tri višine, In .
2. izrek. Površina se izračuna po formuli
. (5)
Dokaz. Od , in , potem
V tem primeru iz formule (1) dobimo
oz
Iz tega sledi formula (5). Izrek je dokazan.
Izračun površine štirikotnikov
Razmislite o posplošitvi Heronove formule za primer izračuna površine štirikotnikov. Vendar je treba takoj opozoriti, da je takšna posplošitev možna le za štirikotnike, ki so vpisani v krog.
Naj štirikotnik ima stranice , , in .
če je štirikotnik, vpisan v krog, potem velja izrek 3 (Brahmaguptina formula).
Izrek 3. kvadrat izračunano po formuli
Kje .
Dokaz.Štirikotniku nariši diagonalo in dobi dva trikotnika in . Če za te trikotnike uporabimo kosinusni izrek, ki je enakovreden formuli (3), potem lahko zapišemo
Ker je štirikotnik vpisan v krog, je vsota njegovih nasprotnih kotov , tj. .
Ker oz potem iz (7) dobimo
oz
. (8)
Od takrat . Vendar in zato
Ker , potem formuli (8) in (9) pomenita
Če postavimo, potem od tu dobimo formulo (6). Izrek je dokazan.
Če včrtani štirikotnikje hkrati opisano, potem je formula (6) močno poenostavljena.
Izrek 4. Ploščino štirikotnika, vpisanega v en krog in opisanega okoli drugega, izračunamo po formuli
. (10)
Dokaz. Ker je krog vpisan v štirikotnik, enakosti
V tem primeru , , , in formulo (6) zlahka pretvorimo v formulo (10). Izrek je dokazan.
Preidimo na obravnavo primerov geometrijskih problemov, katerega rešitev je izvedena na podlagi uporabe dokazanih izrekov.
Primeri reševanja problemov
Primer 1. Najdi območje, če .
rešitev. Ker tukaj, v skladu z izrekom 1 dobimo
Odgovor: .
Opomba, če so stranice trikotnikaprevzamejo iracionalne pomene, nato izračun njegove površinez uporabo formule (1), ponavadi , je neučinkovito. V tem primeru je smiselno neposredno uporabiti formuli (2) in (3).
Primer 2 Poiščite območje, če , In .
rešitev. Ob upoštevanju formul (2) in (3) dobimo
Od , torej oz.
Odgovor: .
Primer 3 Poiščite območje, če , In .
rešitev. Zaradi ,
potem iz izreka 2 sledi, da .
Odgovor: .
Primer 4 Trikotnik ima strani , in . Poiščite in , Kje so polmeri opisanih in včrtanih krogov, v tem zaporedju.
rešitev. Najprej izračunajmo površino. Ker , potem iz formule (1) dobimo .
Znano je, da in. Zato .
Primer 5 Poiščite območje štirikotnika, vpisanega v krog, če , , In .
rešitev. Iz pogojev primera sledi, da. Nato po izreku 3 dobimo .
Primer 6 Poiščite površino štirikotnika, vpisanega v krog s stranicami , , in .
rešitev. Ker in , Potem velja enakost v štirikotniku. Vemo pa, da je obstoj takšne enakosti nujen in zadosten pogoj, da je krog vpisan v dani štirikotnik. V zvezi s tem lahko za izračun površine uporabimo formulo (10), iz katere sledi .
Za samostojno in kakovostno pripravo na sprejemne preizkuse s področja reševanja problemov šolske geometrije lahko učinkovito uporabite učbenike, naveden na seznamu priporočenega branja.
1. Gotman E.G. Problemi v planimetriji in metode za njihovo reševanje. – M.: Razsvetljenje, 1996. – 240 str.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Geometrija trikotnika v problemih. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2009. - 208 str.
3. Zbirka nalog iz matematike za kandidate na visokošolskih ustanovah / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svet in izobraževanje, 2013. - 608 str.
4. Suprun V.P. Matematika za srednješolce: dodatni sklopi šolskega kurikuluma. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 str.
Imaš kakšno vprašanje?
Če želite dobiti pomoč od mentorja -.
blog.site, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.
Gerona formula Formula junaka
izraža območje s trikotnika glede na dolžine njegovih treh strani A, b in z in polperimeter R = (A + b + z)/2: . Ime je dobil po Heronu iz Aleksandrije.
FORMULA HERONAHERON FORMULA, izraža območje S trikotnika glede na dolžine njegovih treh strani a, b in c in polperimeter p = (a + b + c)/2
Ime je dobil po Heronu iz Aleksandrije.
enciklopedični slovar. 2009 .
Oglejte si, kaj je "Geronova formula" v drugih slovarjih:
Izraža ploščino S trikotnika z dolžinami njegovih treh stranic a, b in c ter polobima P = (a + b + c) / 2 Poimenovan po Heronu iz Aleksandrije ... Veliki enciklopedični slovar
Formula, ki izraža površino trikotnika glede na njegove tri stranice. Če so namreč a, b, c dolžine stranic trikotnika, a S pa njegova ploščina, potem je G. f. ima obliko: kjer p označuje polobod trikotnika G. f. ... ...
Formula, ki izraža površino trikotnika glede na njegove stranice a, b, c: kjer Poimenovan po Heronu (c. 1. stoletje našega štetja), A. B. Ivanov ... Matematična enciklopedija
Izraža površino 5 trikotnika glede na dolžine njegovih treh stranic a, b in c ter polobod p \u003d (a + b + c) / 2: s \u003d kvadrat. koren p(p a)(p b)(p c). Poimenovan po Heronu iz Aleksandrije ... Naravoslovje. enciklopedični slovar
- ... Wikipedia
Omogoča izračun površine trikotnika (S) na njegovih stranicah a, b, c: kjer je p polobod trikotnika: . Dokaz, kjer je kot trikoten ... Wikipedia
Izraža površino štirikotnika, včrtanega v krog, kot funkcijo dolžin njegovih stranic. Če ima včrtan štirikotnik dolžine stranic in polobod, potem je njegovo območje ... Wikipedia
Ta članek nima povezav do virov informacij. Podatki morajo biti preverljivi, sicer so lahko vprašljivi in odstranjeni. Ta članek lahko uredite tako, da vključuje povezave do verodostojnih virov. Ta oznaka ... ... Wikipedia
- (Heronus Alexandrinus) (letnica rojstva in smrti neznana, verjetno 1. stoletje), starogrški znanstvenik, ki je deloval v Aleksandriji. Avtor del, v katerih je sistematično orisal glavne dosežke antičnega sveta na področju uporabne mehanike, V ... ... Velika sovjetska enciklopedija
Aleksandrijec (Heronus Alexandrinus) (letnica rojstva in smrti neznana, verjetno 1. stoletje), starogrški znanstvenik, ki je deloval v Aleksandriji. Avtor del, v katerih je sistematično orisal glavne dosežke starega veka na področju ... ... Velika sovjetska enciklopedija
Ta formula vam omogoča izračun površine trikotnika vzdolž njegovih strani a, b in c:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-s),kjer je p polobod trikotnika, tj. p = (a + b + c)/2.
Formula je poimenovana po starogrškem matematiku Heronu iz Aleksandrije (okoli 1. stoletja). Heron je obravnaval trikotnike s celimi stranicami, katerih površine so prav tako cela števila. Takšni trikotniki se imenujejo heronski. Na primer, to so trikotniki s stranicami 13, 14, 15 ali 51, 52, 53.
Obstajajo analogi Heronove formule za štirikotnike. Ker ima problem konstruiranja štirikotnika vzdolž njegovih stranic a, b, c in d več kot eno rešitev, v splošnem primeru površina štirikotnika ni dovolj za poznavanje dolžin stranic. Vnesti morate dodatne parametre ali uvesti omejitve. Na primer, območje vpisanega štirikotnika najdemo s formulo: S \u003d √ (p-a) (p-b) (p-c) (p-d)
Če je štirikotnik hkrati včrtovan in obrobljen, je njegova ploščina enaka po enostavnejši formuli: S=√(abcd).
Heron iz Aleksandrije - grški matematik in mehanik.
Prvi je izumil avtomatska vrata, avtomatsko lutkovno gledališče, avtomat, hitrostrelni samonakladalni samostrel, parno turbino, avtomatske kulise, napravo za merjenje dolžine cest (starodavni odometer) itd. Bil je prvi, ki je ustvaril programabilne naprave (gred z zatiči, okoli katere je navita vrv).
Študiral je geometrijo, mehaniko, hidrostatiko, optiko. Glavna dela: metrika, pnevmatika, avtotopoetika, mehanika (delo je v celoti ohranjeno v arabskem prevodu), katoptrika (veda o zrcalih; ohranjena je samo v latinskem prevodu) itd. pravokotne koordinate. Heron je uporabil dosežke svojih predhodnikov: Evklida, Arhimeda, Stratona iz Lampsaka. Veliko njegovih knjig je nepovratno izgubljenih (zvitki so bili shranjeni v Aleksandrijski knjižnici).
V razpravi "Mehanika" je Heron opisal pet vrst najpreprostejših strojev: vzvod, vrata, klin, vijak in blok.
V razpravi "Pnevmatika" je Heron opisal različne sifone, domiselno urejene posode, avtomate, ki jih poganja stisnjen zrak ali para. To je eolipil, ki je bila prva parna turbina - krogla, ki jo vrti moč curkov vodne pare; odpirač vrat, avtomat za sveto vodo, gasilska črpalka, vodne orgle, mehansko lutkovno gledališče.
V knjigi "O dioptriji" je opisana dioptrija - najpreprostejši pripomoček za geodetska dela. Geron v svoji razpravi podaja pravila merjenja zemljišč, ki temeljijo na uporabi pravokotnih koordinat.
V "Katoptriku" Heron utemeljuje naravnost svetlobnih žarkov z neskončno visoko hitrostjo njihovega širjenja. Heron obravnava različne vrste ogledal, pri čemer posebno pozornost namenja cilindričnim ogledalom.
Heronova "Metrika" ter "Geometrija" in "Stereometrija", izvlečena iz nje, so referenčne knjige o uporabni matematiki. Med informacijami, vsebovanimi v informacijah "Metrika", so:
Formule za ploščine pravilnih mnogokotnikov.
Prostornine pravilnih poliedrov, piramide, stožca, prisekanega stožca, torusa, sferičnega segmenta.
Heronova formula za izračun površine trikotnika iz dolžin njegovih stranic (odkril jo je Arhimed).
Pravila za numerično reševanje kvadratnih enačb.
Algoritmi za pridobivanje kvadratnih in kubičnih korenov.
Heronova knjiga "Definicije" je obsežna zbirka geometrijskih definicij, ki večinoma sovpadajo z definicijami Evklidovih "Elementov".
Sposobnost matematičnega razmišljanja ena najplemenitejših človeških sposobnosti.
Irski dramatik Bernard Shaw
Heronova formula
V šolski matematiki je Heronova formula zelo priljubljena, katere uporaba vam omogoča, da izračunate površino trikotnika vzdolž njegovih treh strani. Hkrati malo študentov ve, da obstaja podobna formula za izračun površine štirikotnikov, vpisanih v krog. Takšna formula se imenuje Brahmaguptina formula. Obstaja tudi malo znana formula za izračun površine trikotnika iz njegovih treh višin, katere izpeljava izhaja iz Heronove formule.
Izračun površine trikotnikov
Spustite v trikotnik strani, in . Potem velja naslednji izrek (Heronova formula).
1. izrek.
Kje .
Dokaz. Pri izpeljavi formule (1) bomo uporabili znane geometrije trične formule
, (2)
. (3)
Iz formul (2) in (3) dobimo in . Od takrat
. (4)
Če določimo potem formula (1) sledi iz enakosti (4). Izrek je dokazan.
Razmislite zdaj o vprašanju izračuna površine trikotnika glede na to , da so znane njegove tri višine, In .
2. izrek. Površina se izračuna po formuli
. (5)
Dokaz. Od , in , potem
V tem primeru iz formule (1) dobimo
oz
Iz tega sledi formula (5). Izrek je dokazan.
Izračun površine štirikotnikov
Razmislite o posplošitvi Heronove formule za primer izračuna površine štirikotnikov. Vendar je treba takoj opozoriti, da je takšna posplošitev možna le za štirikotnike, ki so vpisani v krog.
Naj štirikotnik ima stranice , , in .
če je štirikotnik, vpisan v krog, potem velja izrek 3 (Brahmaguptina formula).
Izrek 3. kvadrat izračunano po formuli
Kje .
Dokaz.Štirikotniku nariši diagonalo in dobi dva trikotnika in . Če za te trikotnike uporabimo kosinusni izrek, ki je enakovreden formuli (3), potem lahko zapišemo
Ker je štirikotnik vpisan v krog, je vsota njegovih nasprotnih kotov , tj. .
Ker oz potem iz (7) dobimo
oz
. (8)
Od takrat . Vendar in zato
Ker , potem formuli (8) in (9) pomenita
Če postavimo, potem od tu dobimo formulo (6). Izrek je dokazan.
Če včrtani štirikotnikje hkrati opisano, potem je formula (6) močno poenostavljena.
Izrek 4. Ploščino štirikotnika, vpisanega v en krog in opisanega okoli drugega, izračunamo po formuli
. (10)
Dokaz. Ker je krog vpisan v štirikotnik, enakosti
V tem primeru , , , in formulo (6) zlahka pretvorimo v formulo (10). Izrek je dokazan.
Preidimo na obravnavo primerov geometrijskih problemov, katerega rešitev je izvedena na podlagi uporabe dokazanih izrekov.
Primeri reševanja problemov
Primer 1. Najdi območje, če .
rešitev. Ker tukaj, v skladu z izrekom 1 dobimo
Odgovor: .
Opomba, če so stranice trikotnikaprevzamejo iracionalne pomene, nato izračun njegove površinez uporabo formule (1), ponavadi , je neučinkovito. V tem primeru je smiselno neposredno uporabiti formuli (2) in (3).
Primer 2 Poiščite območje, če , In .
rešitev. Ob upoštevanju formul (2) in (3) dobimo
Od , torej oz.
Odgovor: .
Primer 3 Poiščite območje, če , In .
rešitev. Zaradi ,
potem iz izreka 2 sledi, da .
Odgovor: .
Primer 4 Trikotnik ima strani , in . Poiščite in , Kje so polmeri opisanih in včrtanih krogov, v tem zaporedju.
rešitev. Najprej izračunajmo površino. Ker , potem iz formule (1) dobimo .
Znano je, da in. Zato .
Primer 5 Poiščite območje štirikotnika, vpisanega v krog, če , , In .
rešitev. Iz pogojev primera sledi, da. Nato po izreku 3 dobimo .
Primer 6 Poiščite površino štirikotnika, vpisanega v krog s stranicami , , in .
rešitev. Ker in , Potem velja enakost v štirikotniku. Vemo pa, da je obstoj takšne enakosti nujen in zadosten pogoj, da je krog vpisan v dani štirikotnik. V zvezi s tem lahko za izračun površine uporabimo formulo (10), iz katere sledi .
Za samostojno in kakovostno pripravo na sprejemne preizkuse s področja reševanja problemov šolske geometrije lahko učinkovito uporabite učbenike, naveden na seznamu priporočenega branja.
1. Gotman E.G. Problemi v planimetriji in metode za njihovo reševanje. – M.: Razsvetljenje, 1996. – 240 str.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Geometrija trikotnika v problemih. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2009. - 208 str.
3. Zbirka nalog iz matematike za kandidate na visokošolskih ustanovah / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svet in izobraževanje, 2013. - 608 str.
4. Suprun V.P. Matematika za srednješolce: dodatni sklopi šolskega kurikuluma. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 str.
Imaš kakšno vprašanje?
Za pomoč mentorja - registrirajte se.
spletno mesto, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.
Predhodne informacije
Za začetek uvajamo informacije in zapise, ki bodo potrebni v nadaljevanju.
Obravnavali bomo trikotnik $ABC$ z ostrima kotoma $A$ in $C$. Vanj nariši višino $BH$. Vstavimo naslednji zapis: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $ (slika 1).
Slika 1.
Brez dokaza uvedemo izrek o ploščini trikotnika.
1. izrek
Območje trikotnika je definirano kot polovica produkta dolžine njegove stranice in nanj narisane višine, tj.
Heronova formula
Predstavimo in dokažemo izrek o iskanju ploščine trikotnika glede na tri znane stranice. Ta formula se imenuje Heronove formule.
2. izrek
Naj imamo dane tri stranice trikotnika $a,\ b\ in\ c$. Nato je območje tega trikotnika izraženo na naslednji način
kjer je $p$ polobseg danega trikotnika.
Dokaz.
Uporabili bomo zapis, predstavljen na sliki 1.
Razmislite o trikotniku $ABH$. Po Pitagorovem izreku dobimo
Očitno je $HC=AC-AH=b-x$
Razmislite o trikotniku $\CBH$. Po Pitagorovem izreku dobimo
\ \ \
Iz obeh dobljenih relacij izenačite vrednosti kvadrata višine
\ \ \
Iz prve enačbe najdemo višino
\ \ \ \ \ \
Ker je polobod enak $p=\frac(a+b+c)(2)$, tj. $a+b+c=2p$, potem
\ \ \ \
Po izreku 1 dobimo
Izrek je dokazan.
Primeri nalog za uporabo Heronove formule
Primer 1
Poiščite ploščino trikotnika, če so njegove strani $3$ cm, $6$ cm in $7$ cm.
rešitev.
Najprej poiščimo polobod tega trikotnika
Po izreku 2 dobimo
odgovor:$4\sqrt(5)$.
