Schopnosť matematicky myslieť jedna z najušľachtilejších ľudských schopností.
Írsky dramatik Bernard Shaw
Heronov vzorec
V školskej matematike je Heronov vzorec veľmi populárny, ktorého použitie vám umožňuje vypočítať plochu trojuholníka pozdĺž jeho troch strán. Zároveň len málo študentov vie, že existuje podobný vzorec na výpočet plochy štvoruholníkov vpísaných do kruhu. Takýto vzorec sa nazýva Brahmaguptov vzorec. Existuje aj málo známy vzorec na výpočet plochy trojuholníka z jeho troch výšok, ktorého odvodenie vyplýva z Heronovho vzorca.
Výpočet plochy trojuholníkov
Vložíme trojuholník strany a . Potom platí nasledujúca veta (Heronov vzorec).
Veta 1.
Kde .
Dôkaz. Pri odvodzovaní vzorca (1) použijeme známe geometrie trikové vzorce
, (2)
. (3)
Zo vzorcov (2) a (3) získame a . Odvtedy
. (4)
Ak určíme potom vzorec (1) vyplýva z rovnosti (4). Veta bola dokázaná.
Zvážte teraz otázku výpočtu plochy trojuholníka vzhľadom na to, že sú známe jeho tri výšky, A .
Veta 2. Plocha sa vypočíta podľa vzorca
. (5)
Dôkaz. Od , a , potom
V tomto prípade zo vzorca (1) dostaneme
alebo
Z toho vyplýva vzorec (5). Veta bola dokázaná.
Výpočet plochy štvoruholníkov
Zvážte zovšeobecnenie Heronovho vzorca pre prípad výpočtu plochy štvoruholníkov. Malo by sa však okamžite poznamenať, že takéto zovšeobecnenie je možné len pre štvoruholníky, ktoré sú vpísané do kruhu.
Nech je štvoruholník má strany , a .
Ak je štvoruholník, vpísaný do kruhu, potom platí veta 3 (Brahmaguptov vzorec).
Veta 3. Námestie vypočítané podľa vzorca
Kde .
Dôkaz. Nakreslite uhlopriečku v štvoruholníku a získajte dva trojuholníky a . Ak na tieto trojuholníky aplikujeme kosínusovú vetu, ktorá je ekvivalentná vzorcu (3), môžeme písať
Keďže štvoruholník je vpísaný do kruhu, súčet jeho opačných uhlov je , t.j. .
Pretože alebo potom z (7) dostaneme
Alebo
. (8)
Odvtedy . Avšak, a preto
Keďže , potom vzorce (8) a (9) znamenajú
Ak dáme, odtiaľ dostaneme vzorec (6). Veta bola dokázaná.
Ak je vpísaný štvoruholníkje zároveň opísaný, potom je vzorec (6) značne zjednodušený.
Veta 4. Plocha štvoruholníka vpísaná do jedného kruhu a opísaná okolo druhého sa vypočíta podľa vzorca
. (10)
Dôkaz. Keďže kruh je vpísaný do štvoruholníka, rovnosti
V tomto prípade sa , , a vzorec (6) ľahko prevedú na vzorec (10). Veta bola dokázaná.
Prejdime k úvahám o príkladoch geometrických problémov, ktorého riešenie sa uskutočňuje na základe aplikácie dokázaných teorémov.
Príklady riešenia problémov
Príklad 1. Nájsť oblasť, ak .
Riešenie. Keďže tu podľa vety 1 dostaneme
Odpoveď: .
Poznámka, ak strany trojuholníkanadobudnúť iracionálne významy, potom výpočet jeho plochypomocou vzorca (1), zvyčajne , je neúčinný. V tomto prípade je účelné použiť priamo vzorce (2) a (3).
Príklad 2 Nájdite oblasť, ak , a .
Riešenie. Ak vezmeme do úvahy vzorce (2) a (3), dostaneme
Od , potom alebo .
Odpoveď: .
Príklad 3 Nájdite oblasť, ak , a .
Riešenie. Pretože ,
potom z vety 2 vyplýva, že .
Odpoveď: .
Príklad 4 Trojuholník má strany , a . Nájdite a , kde sú polomery opísanej a vpísanej kružnice.
Riešenie. Najprv vypočítame plochu. Keďže , potom zo vzorca (1) dostaneme .
Je známe, že a . Preto .
Príklad 5 Nájdite obsah štvoruholníka vpísaného do kruhu, ak , , a .
Riešenie. Z podmienok príkladu vyplýva, že . Potom podľa vety 3 dostaneme .
Príklad 6 Nájdite oblasť štvoruholníka vpísaného do kruhu so stranami , a .
Riešenie. Od a , potom platí rovnosť v štvoruholníku. Je však známe, že existencia takejto rovnosti je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre vpísanie kružnice do daného štvoruholníka. V tomto ohľade možno na výpočet plochy použiť vzorec (10), z ktorého vyplýva .
Pre samostatnú a kvalitnú prípravu na prijímacie testy z oblasti riešenia úloh školskej geometrie môžete efektívne využiť učebnice, uvedené v zozname odporúčanej literatúry.
1. Gotman E.G. Úlohy z planimetrie a metódy ich riešenia. – M.: Osveta, 1996. – 240 s.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Geometria trojuholníka v problémoch. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2009. - 208 s.
3. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svet a vzdelávanie, 2013. - 608 s.
4. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školského vzdelávacieho programu. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.
Máte nejaké otázky?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.
Gerona vzorec Vzorec hrdinu
vyjadruje oblasť s trojuholník z hľadiska dĺžok jeho troch strán A, b A s a semiperimeter R = (A + b + s)/2: . Pomenovaný po Heronovi Alexandrijskom.
HERONA FORMULEHERON FORMULA, vyjadruje plochu S trojuholník z hľadiska dĺžok jeho troch strán a, b A c a semiperimeter P = (a + b + c)/2
Pomenovaný po Heronovi Alexandrijskom.
encyklopedický slovník. 2009 .
Pozrite sa, čo je "Geronov vzorec" v iných slovníkoch:
Vyjadruje obsah S trojuholníka z hľadiska dĺžok jeho troch strán a, b a c a pol obvodu P = (a + b + c) / 2 Pomenovaný po Heronovi Alexandrijskom ... Veľký encyklopedický slovník
Vzorec vyjadrujúci obsah trojuholníka z hľadiska jeho troch strán. Konkrétne, ak a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka a a S je jeho obsah, potom G. f. má tvar: kde p označuje semiperimeter trojuholníka G. f. ... ...
Vzorec vyjadrujúci obsah trojuholníka z hľadiska jeho strán a, b, c: kde pomenovaný po Heronovi (asi 1. storočie nášho letopočtu), A. B. Ivanov ... Matematická encyklopédia
Vyjadruje plochu 5 trojuholníka z hľadiska dĺžok jeho troch strán a, b a c a polobvodu p \u003d (a + b + c) / 2: s \u003d štvorec. koreň p(p a)(p b)(p c). Pomenovaný po Heronovi Alexandrijskom... Prírodná veda. encyklopedický slovník
- ... Wikipedia
Umožňuje vypočítať plochu trojuholníka (S) na jeho stranách a, b, c: kde p je semiperimeter trojuholníka: . Dôkaz, kde je uhol trojuholníkový ... Wikipedia
Vyjadruje plochu štvoruholníka vpísaného do kruhu ako funkciu dĺžok jeho strán. Ak má vpísaný štvoruholník dĺžky strán a semiperimeter, potom jeho plocha je ... Wikipedia
V tomto článku chýbajú odkazy na zdroje informácií. Informácie musia byť overiteľné, inak môžu byť spochybnené a odstránené. Tento článok môžete upraviť tak, aby obsahoval odkazy na dôveryhodné zdroje. Táto značka ... ... Wikipedia
- (Heronus Alexandrinus) (roky narodenia a úmrtia neznáme, pravdepodobne 1. storočie), starogrécky vedec, ktorý pôsobil v Alexandrii. Autor prác, v ktorých systematicky načrtol hlavné úspechy antického sveta v oblasti aplikovanej mechaniky, V ... ... Veľká sovietska encyklopédia
Alexandrijec (Heronus Alexandrinus) (roky narodenia a úmrtia neznáme, pravdepodobne 1. storočie), starogrécky vedec, ktorý pôsobil v Alexandrii. Autor diel, v ktorých systematicky načrtol hlavné úspechy antického sveta v oblasti ... ... Veľká sovietska encyklopédia
Tento vzorec vám umožňuje vypočítať plochu trojuholníka pozdĺž jeho strán a, b a c:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-s),kde p je polovica obvodu trojuholníka, t.j. p = (a + b + c)/2.
Vzorec je pomenovaný podľa starogréckeho matematika Herona Alexandrijského (okolo 1. storočia). Heron považoval trojuholníky s celočíselnými stranami, ktorých oblasti sú tiež celé čísla. Takéto trojuholníky sa nazývajú Herónske. Ide napríklad o trojuholníky so stranami 13, 14, 15 alebo 51, 52, 53.
Existujú analógy Heronovho vzorca pre štvoruholníky. Vzhľadom na skutočnosť, že problém konštrukcie štvoruholníka pozdĺž jeho strán a, b, c a d má viac ako jedno riešenie, vo všeobecnom prípade plocha štvoruholníka nestačí na to, aby sme poznali dĺžky strán. Musíte zadať ďalšie parametre alebo uložiť obmedzenia. Napríklad oblasť vpísaného štvoruholníka sa nachádza podľa vzorca: S \u003d √ (p-a) (p-b) (p-c) (p-d)
Ak je štvoruholník súčasne vpísaný aj opísaný, jeho plocha je podľa jednoduchšieho vzorca: S=√(abcd).
Volavka Alexandrijská - grécky matematik a mechanik.
Ako prvý vynašiel automatické dvere, automatické bábkové divadlo, predajný automat, rýchlopalnú samonabíjaciu kušu, parnú turbínu, automatické kulisy, zariadenie na meranie dĺžky ciest (starodávne počítadlo kilometrov) atď. Bol prvým, kto vytvoril programovateľné zariadenia (hriadeľ s kolíkmi a okolo neho navinuté lano).
Študoval geometriu, mechaniku, hydrostatiku, optiku. Hlavné diela: Metrika, Pneumatika, Autotopoetika, Mechanika (dielo sa zachovalo celé v arabskom preklade), Katoptrika (náuka o zrkadlách; zachovala sa len v latinskom preklade) atď., zememeračstvo, založené vlastne na použití tzv. pravouhlé súradnice. Heron využil úspechy svojich predchodcov: Euclid, Archimedes, Strato z Lampsaku. Mnohé z jeho kníh sú nenávratne stratené (zvitky boli uložené v Alexandrijskej knižnici).
V pojednaní "Mechanika" Heron opísal päť typov najjednoduchších strojov: páku, bránu, klin, skrutku a blok.
V pojednaní „Pneumatika“ Heron opísal rôzne sifóny, dômyselne usporiadané nádoby, automaty, uvádzané do pohybu stlačeným vzduchom alebo parou. Ide o eolipil, ktorý bol prvou parnou turbínou – guľou otáčanou silou prúdov vodnej pary; otvárač dverí, automat na svätenú vodu, požiarne čerpadlo, vodný organ, mechanické bábkové divadlo.
Kniha „O dioptrii“ popisuje dioptriu – najjednoduchší prístroj používaný na geodetické práce. Geron vo svojom pojednaní stanovuje pravidlá geodézie na základe použitia pravouhlých súradníc.
V "Katoptrik" Heron zdôvodňuje priamosť svetelných lúčov nekonečne vysokou rýchlosťou ich šírenia. Heron zvažuje rôzne typy zrkadiel, pričom osobitnú pozornosť venuje valcovým zrkadlám.
Heronova „metrika“ a z nej získané „geometria“ a „stereometria“ sú referenčné knihy o aplikovanej matematike. Medzi informáciami obsiahnutými v informáciách „Metrické“:
Vzorce pre oblasti pravidelných mnohouholníkov.
Objemy pravidelných mnohostenov, pyramídy, kužeľa, zrezaného kužeľa, torusu, guľového segmentu.
Heronov vzorec na výpočet plochy trojuholníka z dĺžok jeho strán (objavený Archimedesom).
Pravidlá pre numerické riešenie kvadratických rovníc.
Algoritmy na extrakciu druhej mocniny a kocky.
Heronova kniha „Definície“ je rozsiahlou zbierkou geometrických definícií, ktoré sa z väčšej časti zhodujú s definíciami Euklidových „Elementov“.
Schopnosť matematicky myslieť jedna z najušľachtilejších ľudských schopností.
Írsky dramatik Bernard Shaw
Heronov vzorec
V školskej matematike je Heronov vzorec veľmi populárny, ktorého použitie vám umožňuje vypočítať plochu trojuholníka pozdĺž jeho troch strán. Zároveň len málo študentov vie, že existuje podobný vzorec na výpočet plochy štvoruholníkov vpísaných do kruhu. Takýto vzorec sa nazýva Brahmaguptov vzorec. Existuje aj málo známy vzorec na výpočet plochy trojuholníka z jeho troch výšok, ktorého odvodenie vyplýva z Heronovho vzorca.
Výpočet plochy trojuholníkov
Vložíme trojuholník strany a . Potom platí nasledujúca veta (Heronov vzorec).
Veta 1.
Kde .
Dôkaz. Pri odvodzovaní vzorca (1) použijeme známe geometrie trikové vzorce
, (2)
. (3)
Zo vzorcov (2) a (3) získame a . Odvtedy
. (4)
Ak určíme potom vzorec (1) vyplýva z rovnosti (4). Veta bola dokázaná.
Zvážte teraz otázku výpočtu plochy trojuholníka vzhľadom na to, že sú známe jeho tri výšky, A .
Veta 2. Plocha sa vypočíta podľa vzorca
. (5)
Dôkaz. Od , a , potom
V tomto prípade zo vzorca (1) dostaneme
alebo
Z toho vyplýva vzorec (5). Veta bola dokázaná.
Výpočet plochy štvoruholníkov
Zvážte zovšeobecnenie Heronovho vzorca pre prípad výpočtu plochy štvoruholníkov. Malo by sa však okamžite poznamenať, že takéto zovšeobecnenie je možné len pre štvoruholníky, ktoré sú vpísané do kruhu.
Nech je štvoruholník má strany , a .
Ak je štvoruholník, vpísaný do kruhu, potom platí veta 3 (Brahmaguptov vzorec).
Veta 3. Námestie vypočítané podľa vzorca
Kde .
Dôkaz. Nakreslite uhlopriečku v štvoruholníku a získajte dva trojuholníky a . Ak na tieto trojuholníky aplikujeme kosínusovú vetu, ktorá je ekvivalentná vzorcu (3), môžeme písať
Keďže štvoruholník je vpísaný do kruhu, súčet jeho opačných uhlov je , t.j. .
Pretože alebo potom z (7) dostaneme
Alebo
. (8)
Odvtedy . Avšak, a preto
Keďže , potom vzorce (8) a (9) znamenajú
Ak dáme, odtiaľ dostaneme vzorec (6). Veta bola dokázaná.
Ak je vpísaný štvoruholníkje zároveň opísaný, potom je vzorec (6) značne zjednodušený.
Veta 4. Plocha štvoruholníka vpísaná do jedného kruhu a opísaná okolo druhého sa vypočíta podľa vzorca
. (10)
Dôkaz. Keďže kruh je vpísaný do štvoruholníka, rovnosti
V tomto prípade sa , , a vzorec (6) ľahko prevedú na vzorec (10). Veta bola dokázaná.
Prejdime k úvahám o príkladoch geometrických problémov, ktorého riešenie sa uskutočňuje na základe aplikácie dokázaných teorémov.
Príklady riešenia problémov
Príklad 1. Nájsť oblasť, ak .
Riešenie. Keďže tu podľa vety 1 dostaneme
Odpoveď: .
Poznámka, ak strany trojuholníkanadobudnúť iracionálne významy, potom výpočet jeho plochypomocou vzorca (1), zvyčajne , je neúčinný. V tomto prípade je účelné použiť priamo vzorce (2) a (3).
Príklad 2 Nájdite oblasť, ak , a .
Riešenie. Ak vezmeme do úvahy vzorce (2) a (3), dostaneme
Od , potom alebo .
Odpoveď: .
Príklad 3 Nájdite oblasť, ak , a .
Riešenie. Pretože ,
potom z vety 2 vyplýva, že .
Odpoveď: .
Príklad 4 Trojuholník má strany , a . Nájdite a , kde sú polomery opísanej a vpísanej kružnice.
Riešenie. Najprv vypočítame plochu. Keďže , potom zo vzorca (1) dostaneme .
Je známe, že a . Preto .
Príklad 5 Nájdite obsah štvoruholníka vpísaného do kruhu, ak , , a .
Riešenie. Z podmienok príkladu vyplýva, že . Potom podľa vety 3 dostaneme .
Príklad 6 Nájdite oblasť štvoruholníka vpísaného do kruhu so stranami , a .
Riešenie. Od a , potom platí rovnosť v štvoruholníku. Je však známe, že existencia takejto rovnosti je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre vpísanie kružnice do daného štvoruholníka. V tomto ohľade možno na výpočet plochy použiť vzorec (10), z ktorého vyplýva .
Pre samostatnú a kvalitnú prípravu na prijímacie testy z oblasti riešenia úloh školskej geometrie môžete efektívne využiť učebnice, uvedené v zozname odporúčanej literatúry.
1. Gotman E.G. Úlohy z planimetrie a metódy ich riešenia. – M.: Osveta, 1996. – 240 s.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Geometria trojuholníka v problémoch. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2009. - 208 s.
3. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svet a vzdelávanie, 2013. - 608 s.
4. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školského vzdelávacieho programu. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.
Máte nejaké otázky?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Predbežná informácia
Na začiatok uvádzame informácie a notáciu, ktoré budú potrebné v nasledujúcom texte.
Budeme uvažovať trojuholník $ABC$ s ostrými uhlami $A$ a $C$. Nakreslite do nej výšku $BH$. Zaveďme nasledujúci zápis: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $ (obr. 1).
Obrázok 1.
Zavedieme bez dôkazu vetu o ploche trojuholníka.
Veta 1
Plocha trojuholníka je definovaná ako polovica súčinu dĺžky jeho strany a výšky, ktorá je k nemu pripojená
Heronov vzorec
Zavedieme a dokážeme vetu o nájdení obsahu trojuholníka s tromi známymi stranami. Tento vzorec sa nazýva Heronove vzorce.
Veta 2
Dajme nám tri strany trojuholníka $a,\b\ a\ c$. Potom je plocha tohto trojuholníka vyjadrená nasledovne
kde $p$ je polovica obvodu daného trojuholníka.
Dôkaz.
Použijeme zápis uvedený na obrázku 1.
Uvažujme trojuholník $ABH$. Podľa Pytagorovej vety dostaneme
Je zrejmé, že $HC=AC-AH=b-x$
Uvažujme trojuholník $\CBH$. Podľa Pytagorovej vety dostaneme
\ \ \
Porovnajte hodnoty druhej mocniny výšky z dvoch získaných vzťahov
\ \ \
Z prvej rovnice zistíme výšku
\ \ \ \ \ \
Keďže semiperimeter sa rovná $p=\frac(a+b+c)(2)$, t.j. $a+b+c=2p$, potom
\ \ \ \
Podľa vety 1 dostaneme
Veta bola dokázaná.
Príklady úloh na použitie vzorca Heron
Príklad 1
Nájdite obsah trojuholníka, ak jeho strany sú $ 3 $ cm, $ 6 $ cm a $ 7 $ cm.
Riešenie.
Najprv nájdime semiperimeter tohto trojuholníka
Podľa vety 2 dostaneme
odpoveď:$4\sqrt(5)$.
