Schopnost matematického myšlení jedna z nejušlechtilejších lidských schopností.
Irský dramatik Bernard Shaw
Heronův vzorec
Ve školní matematice je Heronův vzorec velmi populární, jehož použití vám umožňuje vypočítat plochu trojúhelníku podél jeho tří stran. Zároveň jen málo studentů ví, že existuje podobný vzorec pro výpočet plochy čtyřúhelníků vepsaných do kruhu. Takový vzorec se nazývá Brahmaguptův vzorec. Existuje také málo známý vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku z jeho tří výšek, jehož odvození vyplývá z Heronova vzorce.
Výpočet plochy trojúhelníků
Pusťte trojúhelník strany a . Pak platí následující věta (Heronův vzorec).
Věta 1.
kde .
Důkaz. Při odvozování vzorce (1) použijeme známé geometrie trikové vzorce
, (2)
. (3)
Ze vzorců (2) a (3) získáme a . Od té doby
. (4)
Pokud určíme pak vzorec (1) vyplývá z rovnosti (4). Věta byla prokázána.
Zvažte nyní otázku výpočtu plochy trojúhelníku vzhledem k tomu, že jsou známy jeho tři výšky, A .
Věta 2. Plocha se vypočítá podle vzorce
. (5)
Důkaz. Od , a , pak
V tomto případě ze vzorce (1) dostaneme
nebo
Z toho vyplývá vzorec (5). Věta byla prokázána.
Výpočet plochy čtyřúhelníků
Zvažte zobecnění Heronova vzorce pro případ výpočtu plochy čtyřúhelníků. Ihned je však třeba poznamenat, že takové zobecnění je možné pouze pro čtyřúhelníky, které jsou vepsány do kruhu.
Nechte čtyřúhelník má strany , , a .
Li je čtyřúhelník, vepsané do kruhu, pak platí věta 3 (Brahmaguptův vzorec).
Věta 3. Náměstí vypočítané podle vzorce
kde .
Důkaz. Nakreslete úhlopříčku ve čtyřúhelníku a získáte dva trojúhelníky a . Pokud na tyto trojúhelníky aplikujeme kosinovou větu, která je ekvivalentní vzorci (3), můžeme psát
Jelikož je čtyřúhelník vepsán do kruhu, je součet jeho protilehlých úhlů , tzn. .
Protože nebo pak z (7) dostaneme
Nebo
. (8)
Od té doby . Nicméně, a proto
Od , pak vzorce (8) a (9) implikují
Pokud položíme, pak odtud dostaneme vzorec (6). Věta byla prokázána.
Pokud je vepsaný čtyřúhelníkje zároveň popsán, pak je vzorec (6) značně zjednodušen.
Věta 4. Plocha čtyřúhelníku vepsaná do jednoho kruhu a popsaná kolem druhého se vypočítá podle vzorce
. (10)
Důkaz. Vzhledem k tomu, že kruh je vepsán do čtyřúhelníku, rovnost
V tomto případě lze , , a vzorec (6) snadno převést na vzorec (10). Věta byla prokázána.
Přejděme k úvahám o příkladech geometrických úloh, jehož řešení se provádí na základě aplikace dokázaných vět.
Příklady řešení problémů
Příklad 1. Najít oblast, pokud .
Řešení. Protože zde , podle věty 1 dostáváme
Odpovědět: .
Poznámka, pokud strany trojúhelníkunabývat iracionálních významů, pak výpočet jeho plochypomocí vzorce (1), obvykle , je neúčinný. V tomto případě je účelné použít přímo vzorce (2) a (3).
Příklad 2 Najděte oblast, pokud , a .
Řešení. Vezmeme-li v úvahu vzorce (2) a (3), dostaneme
Od té doby nebo .
Odpovědět: .
Příklad 3 Najděte oblast, pokud , a .
Řešení. Protože ,
pak z věty 2 vyplývá, že .
Odpovědět: .
Příklad 4 Trojúhelník má strany , a . Najděte a , kde jsou poloměry opsané a vepsané kružnice.
Řešení. Nejprve spočítáme plochu. Protože , pak ze vzorce (1) získáme .
Je známo, že a . Proto .
Příklad 5 Najděte obsah čtyřúhelníku vepsaného do kruhu, pokud , , a .
Řešení. Z podmínek příkladu vyplývá, že . Pak podle věty 3 získáme .
Příklad 6 Najděte oblast čtyřúhelníku vepsaného do kruhu se stranami , a .
Řešení. Od a , pak platí rovnost ve čtyřúhelníku. Je však známo, že existence takové rovnosti je nezbytnou a postačující podmínkou pro vepsání kružnice do daného čtyřúhelníku. V tomto ohledu lze pro výpočet plochy použít vzorec (10), z něhož vyplývá .
Pro samostatnou a kvalitní přípravu na přijímací testy z oblasti řešení úloh školní geometrie můžete efektivně využít učebnice, uvedeny v seznamu doporučené literatury.
1. Gotman E.G. Úlohy z planimetrie a metody jejich řešení. – M.: Osvěta, 1996. – 240 s.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Geometrie trojúhelníku v úlohách. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2009. - 208 s.
3. Sbírka úloh z matematiky pro uchazeče o studium na vysokých školách / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svět a vzdělávání, 2013. - 608 s.
4. Suprun V.P. Matematika pro středoškoláky: doplňkové oddíly školního vzdělávacího programu. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.
Máte nějaké dotazy?
Chcete-li získat pomoc od lektora -.
blog.site, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu je vyžadován odkaz na zdroj.
Formule Gerona Formule hrdiny
vyjadřuje oblast s trojúhelník z hlediska délek jeho tří stran A, b A S a semiperimetr R = (A + b + S)/2: . Pojmenován po Heronovi Alexandrijském.
HERONA FORMULEHERON FORMULA, vyjadřuje plochu S trojúhelník z hlediska délek jeho tří stran A, b A C a semiperimetr P = (A + b + C)/2
Pojmenován po Heronovi Alexandrijském.
encyklopedický slovník. 2009 .
Podívejte se, co je "Geronův vzorec" v jiných slovnících:
Vyjadřuje obsah S trojúhelníku pomocí délek jeho tří stran a, b a c a semiperimetru P = (a + b + c) / 2 Pojmenováno po Heronovi Alexandrijském ... Velký encyklopedický slovník
Vzorec vyjadřující obsah trojúhelníku z hlediska jeho tří stran. Konkrétně, jestliže a, b, c jsou délky stran trojúhelníku a a S je jeho obsah, pak G. f. má tvar: kde p označuje semiperimetr trojúhelníku G. f. ... ...
Vzorec vyjadřující obsah trojúhelníku z hlediska jeho stran a, b, c: kde Pojmenován po Heronovi (asi 1. století n. l.), A. B. Ivanov ... Matematická encyklopedie
Vyjadřuje plochu 5 trojúhelníku z hlediska délek jeho tří stran a, b a c a půlobvodu p \u003d (a + b + c) / 2: s \u003d čtverec. kořen p(p a)(p b)(p c). Pojmenováno po Heronovi Alexandrijském... Přírodní věda. encyklopedický slovník
- ... Wikipedie
Umožňuje vypočítat plochu trojúhelníku (S) na jeho stranách a, b, c: kde p je semiperimetr trojúhelníku: . Důkaz, kde je úhel trojúhelníkový ... Wikipedia
Vyjadřuje plochu čtyřúhelníku vepsaného do kruhu jako funkci délek jeho stran. Pokud má vepsaný čtyřúhelník délky stran a semiperimetr, pak jeho plocha je ... Wikipedia
V tomto článku chybí odkazy na zdroje informací. Informace musí být ověřitelné, jinak mohou být zpochybněny a odstraněny. Tento článek můžete upravit tak, aby obsahoval odkazy na autoritativní zdroje. Tato značka ... ... Wikipedie
- (Heronus Alexandrinus) (roky narození a úmrtí neznámé, pravděpodobně 1. století), starověký řecký vědec, který působil v Alexandrii. Autor děl, ve kterých systematicky nastínil hlavní úspěchy starověkého světa v oblasti aplikované mechaniky, V ... ... Velká sovětská encyklopedie
Alexandrijec (Heronus Alexandrinus) (roky narození a úmrtí neznámé, pravděpodobně 1. století), starověký řecký vědec, který působil v Alexandrii. Autor děl, ve kterých systematicky nastínil hlavní úspěchy antického světa v oblasti ... ... Velká sovětská encyklopedie
Tento vzorec umožňuje vypočítat plochu trojúhelníku podél jeho stran a, b a c:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-s),kde p je polovina obvodu trojúhelníku, tj. p = (a + b + c)/2.
Vzorec je pojmenován po starověkém řeckém matematikovi Heronovi z Alexandrie (kolem 1. století). Heron považoval trojúhelníky s celočíselnými stranami, jejichž oblasti jsou také celá čísla. Takové trojúhelníky se nazývají Heronian. Jedná se například o trojúhelníky se stranami 13, 14, 15 nebo 51, 52, 53.
Pro čtyřúhelníky existují analogy Heronova vzorce. Vzhledem k tomu, že problém konstrukce čtyřúhelníku podél jeho stran a, b, c a d má více než jedno řešení, v obecném případě plocha čtyřúhelníku nestačí znát délky stran. Musíte zadat další parametry nebo uložit omezení. Například oblast vepsaného čtyřúhelníku se nachází podle vzorce: S \u003d √ (p-a) (p-b) (p-c) (p-d)
Je-li čtyřúhelník současně vepsaný i opsaný, je jeho plocha podle jednoduššího vzorce: S=√(abcd).
Volavka Alexandrijská - Řecký matematik a mechanik.
Jako první vynalezl automatické dveře, automatické loutkové divadlo, prodejní automat, rychlopalnou samonabíjecí kuši, parní turbínu, automatické kulisy, zařízení na měření délky silnic (starodávné počítadlo kilometrů) atd. Byl první, kdo vytvořil programovatelná zařízení (hřídel s kolíky a kolem ní namotané lano).
Studoval geometrii, mechaniku, hydrostatiku, optiku. Hlavní díla: Metrika, Pneumatika, Autotopoetika, Mechanika (dílo se zachovalo celé v arabském překladu), Katoptrie (nauka o zrcadlech; dochovala se jen v latinském překladu) aj. zeměměřičství, vlastně založené na využití pravoúhlé souřadnice. Heron využil úspěchy svých předchůdců: Euklides, Archimedes, Strato z Lampsaku. Mnoho z jeho knih je nenávratně ztraceno (svitky byly uloženy v Alexandrijské knihovně).
V pojednání "Mechanika" Heron popsal pět typů nejjednodušších strojů: páku, bránu, klín, šroub a blok.
V pojednání "Pneumatika" Heron popsal různé sifony, důmyslně uspořádané nádoby, automaty, uváděné do pohybu stlačeným vzduchem nebo párou. Jedná se o aeolipil, což byla první parní turbína - koule otáčená silou proudů vodní páry; otvírač dveří, automat na svěcenou vodu, požární čerpadlo, vodní varhany, mechanické loutkové divadlo.
Kniha "Na dioptrii" popisuje dioptrii - nejjednodušší zařízení používané pro geodetické práce. Geron ve svém pojednání stanoví pravidla zeměměřictví na základě použití pravoúhlých souřadnic.
V "Katoptrik" Heron zdůvodňuje přímost světelných paprsků nekonečně vysokou rychlostí jejich šíření. Heron zvažuje různé typy zrcadel, přičemž zvláštní pozornost věnuje válcovým zrcadlům.
Heronova „metrika“ a z ní vytažené „geometrie“ a „stereometrie“ jsou referenční knihy o aplikované matematice. Mezi informacemi obsaženými v „metrických“ informacích:
Vzorce pro oblasti pravidelných mnohoúhelníků.
Objemy pravidelných mnohostěnů, jehlan, kužel, komolý kužel, torus, kulový segment.
Heronův vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku z délek jeho stran (objevený Archimedem).
Pravidla pro numerické řešení kvadratických rovnic.
Algoritmy pro extrakci druhých mocnin a krychlových odmocnin.
Heronova kniha „Definice“ je rozsáhlou sbírkou geometrických definic, které se z větší části shodují s definicemi Euklidových „Prvků“.
Schopnost matematického myšlení jedna z nejušlechtilejších lidských schopností.
Irský dramatik Bernard Shaw
Heronův vzorec
Ve školní matematice je Heronův vzorec velmi populární, jehož použití vám umožňuje vypočítat plochu trojúhelníku podél jeho tří stran. Zároveň jen málo studentů ví, že existuje podobný vzorec pro výpočet plochy čtyřúhelníků vepsaných do kruhu. Takový vzorec se nazývá Brahmaguptův vzorec. Existuje také málo známý vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku z jeho tří výšek, jehož odvození vyplývá z Heronova vzorce.
Výpočet plochy trojúhelníků
Pusťte trojúhelník strany a . Pak platí následující věta (Heronův vzorec).
Věta 1.
kde .
Důkaz. Při odvozování vzorce (1) použijeme známé geometrie trikové vzorce
, (2)
. (3)
Ze vzorců (2) a (3) získáme a . Od té doby
. (4)
Pokud určíme pak vzorec (1) vyplývá z rovnosti (4). Věta byla prokázána.
Zvažte nyní otázku výpočtu plochy trojúhelníku vzhledem k tomu, že jsou známy jeho tři výšky, A .
Věta 2. Plocha se vypočítá podle vzorce
. (5)
Důkaz. Od , a , pak
V tomto případě ze vzorce (1) dostaneme
nebo
Z toho vyplývá vzorec (5). Věta byla prokázána.
Výpočet plochy čtyřúhelníků
Zvažte zobecnění Heronova vzorce pro případ výpočtu plochy čtyřúhelníků. Ihned je však třeba poznamenat, že takové zobecnění je možné pouze pro čtyřúhelníky, které jsou vepsány do kruhu.
Nechte čtyřúhelník má strany , , a .
Li je čtyřúhelník, vepsané do kruhu, pak platí věta 3 (Brahmaguptův vzorec).
Věta 3. Náměstí vypočítané podle vzorce
kde .
Důkaz. Nakreslete úhlopříčku ve čtyřúhelníku a získáte dva trojúhelníky a . Pokud na tyto trojúhelníky aplikujeme kosinovou větu, která je ekvivalentní vzorci (3), můžeme psát
Jelikož je čtyřúhelník vepsán do kruhu, je součet jeho protilehlých úhlů , tzn. .
Protože nebo pak z (7) dostaneme
Nebo
. (8)
Od té doby . Nicméně, a proto
Od , pak vzorce (8) a (9) implikují
Pokud položíme, pak odtud dostaneme vzorec (6). Věta byla prokázána.
Pokud je vepsaný čtyřúhelníkje zároveň popsán, pak je vzorec (6) značně zjednodušen.
Věta 4. Plocha čtyřúhelníku vepsaná do jednoho kruhu a popsaná kolem druhého se vypočítá podle vzorce
. (10)
Důkaz. Vzhledem k tomu, že kruh je vepsán do čtyřúhelníku, rovnost
V tomto případě lze , , a vzorec (6) snadno převést na vzorec (10). Věta byla prokázána.
Přejděme k úvahám o příkladech geometrických úloh, jehož řešení se provádí na základě aplikace dokázaných vět.
Příklady řešení problémů
Příklad 1. Najít oblast, pokud .
Řešení. Protože zde , podle věty 1 dostáváme
Odpovědět: .
Poznámka, pokud strany trojúhelníkunabývat iracionálních významů, pak výpočet jeho plochypomocí vzorce (1), obvykle , je neúčinný. V tomto případě je účelné použít přímo vzorce (2) a (3).
Příklad 2 Najděte oblast, pokud , a .
Řešení. Vezmeme-li v úvahu vzorce (2) a (3), dostaneme
Od té doby nebo .
Odpovědět: .
Příklad 3 Najděte oblast, pokud , a .
Řešení. Protože ,
pak z věty 2 vyplývá, že .
Odpovědět: .
Příklad 4 Trojúhelník má strany , a . Najděte a , kde jsou poloměry opsané a vepsané kružnice.
Řešení. Nejprve spočítáme plochu. Protože , pak ze vzorce (1) získáme .
Je známo, že a . Proto .
Příklad 5 Najděte obsah čtyřúhelníku vepsaného do kruhu, pokud , , a .
Řešení. Z podmínek příkladu vyplývá, že . Pak podle věty 3 získáme .
Příklad 6 Najděte oblast čtyřúhelníku vepsaného do kruhu se stranami , a .
Řešení. Od a , pak platí rovnost ve čtyřúhelníku. Je však známo, že existence takové rovnosti je nezbytnou a postačující podmínkou pro vepsání kružnice do daného čtyřúhelníku. V tomto ohledu lze pro výpočet plochy použít vzorec (10), z něhož vyplývá .
Pro samostatnou a kvalitní přípravu na přijímací testy z oblasti řešení úloh školní geometrie můžete efektivně využít učebnice, uvedeny v seznamu doporučené literatury.
1. Gotman E.G. Úlohy z planimetrie a metody jejich řešení. – M.: Osvěta, 1996. – 240 s.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Geometrie trojúhelníku v úlohách. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2009. - 208 s.
3. Sbírka úloh z matematiky pro uchazeče o studium na vysokých školách / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svět a vzdělávání, 2013. - 608 s.
4. Suprun V.P. Matematika pro středoškoláky: doplňkové oddíly školního vzdělávacího programu. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.
Máte nějaké dotazy?
Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.
stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.
Předběžná informace
Pro začátek uvedeme informace a notaci, které budou potřeba v následujícím.
Budeme uvažovat trojúhelník $ABC$ s ostrými úhly $A$ a $C$. Nakreslete do něj výšku $BH$. Zaveďme následující zápis: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $ (obr. 1).
Obrázek 1.
Zavedeme bez důkazu větu o ploše trojúhelníku.
Věta 1
Plocha trojúhelníku je definována jako polovina součinu délky jeho strany a výšky k němu přitažené, tzn
Heronův vzorec
Zavedeme a dokážeme větu o nalezení obsahu trojúhelníku o třech známých stranách. Tento vzorec se nazývá Heronovy vzorce.
Věta 2
Dostaneme tři strany trojúhelníku $a,\ b\ a\ c$. Pak je plocha tohoto trojúhelníku vyjádřena následovně
kde $p$ je polovina obvodu daného trojúhelníku.
Důkaz.
Použijeme notaci představenou na obrázku 1.
Uvažujme trojúhelník $ABH$. Podle Pythagorovy věty dostáváme
Je zřejmé, že $HC=AC-AH=b-x$
Uvažujme trojúhelník $\CBH$. Podle Pythagorovy věty dostáváme
\ \ \
Srovnejte hodnoty druhé mocniny výšky ze dvou získaných vztahů
\ \ \
Z první rovnice zjistíme výšku
\ \ \ \ \ \
Protože semiperimetr je roven $p=\frac(a+b+c)(2)$, tj. $a+b+c=2p$, pak
\ \ \ \
Podle věty 1 dostáváme
Věta byla prokázána.
Příklady úloh pro použití vzorce Heron
Příklad 1
Najděte obsah trojúhelníku, pokud jeho strany jsou $ 3 $ cm, $ 6 $ cm a $ 7 $ cm.
Řešení.
Nejprve najdeme semiperimetr tohoto trojúhelníku
Podle věty 2 dostáváme
Odpovědět:$4\sqrt(5)$.
