Sposobnost matematičkog razmišljanja jedna od najplemenitijih ljudskih sposobnosti.
Irski dramski pisac Bernard Shaw
Heronova formula
U školskoj matematici, Heronova formula je vrlo popularna, čija upotreba vam omogućava da izračunate površinu trokuta duž njegove tri strane. Istovremeno, malo učenika zna da postoji slična formula za izračunavanje površine četverokuta upisanih u krug. Takva formula se naziva Brahmaguptina formula. Postoji i malo poznata formula za izračunavanje površine trokuta iz njegove tri visine, čije izvođenje slijedi iz Heronove formule.
Izračunavanje površine trokuta
Neka u trougao strane, i . Tada vrijedi sljedeća teorema (Heronova formula).
Teorema 1.
Gdje .
Dokaz. Prilikom izvođenja formule (1) koristit ćemo se dobro poznatim geometrijama tric formule
, (2)
. (3)
Iz formula (2) i (3) dobijamo i . Od tada
. (4)
Ako odredimo onda formula (1) slijedi iz jednakosti (4). Teorema je dokazana.
Razmotrimo sada pitanje izračunavanja površine trokuta s obzirom na to, da su poznate njegove tri visine, I .
Teorema 2. Površina se izračunava po formuli
. (5)
Dokaz. Od , i , onda
U ovom slučaju, iz formule (1) dobijamo
ili
Iz ovoga slijedi formula (5). Teorema je dokazana.
Izračunavanje površine četvorougla
Razmotrimo generalizaciju Heronove formule za slučaj izračunavanja površine četverokuta. Međutim, odmah treba napomenuti da je takva generalizacija moguća samo za četverouglove koji su upisani u krug.
Neka je četvorougao ima strane , , i .
Ako je četverougao, upisan u krug, tada vrijedi teorema 3 (Brahmaguptina formula).
Teorema 3. Square izračunato po formuli
Gdje .
Dokaz. Nacrtajte dijagonalu u četverougao i dobiti dva trokuta i . Ako primijenimo kosinus teorem na ove trokute, što je ekvivalentno formuli (3), onda možemo napisati
Budući da je četverougao upisan u krug, zbir njegovih suprotnih uglova je , tj. .
Jer ili onda iz (7) dobijamo
Or
. (8)
Od tada . Međutim, i stoga
Budući da , onda formule (8) i (9) impliciraju
ako stavimo, onda odavde dobijamo formulu (6). Teorema je dokazana.
Ako je upisani četverougaoje ujedno i opisano, onda je formula (6) znatno pojednostavljena.
Teorema 4. Površina četverokuta, upisanog u jedan krug i opisanog oko drugog, izračunava se po formuli
. (10)
Dokaz. Kako je kružnica upisana u četverokut, jednakosti
U ovom slučaju , , , i formula (6) se lako pretvara u formulu (10). Teorema je dokazana.
Pređimo na razmatranje primjera geometrijskih problema, čije se rješavanje izvodi na osnovu primjene dokazanih teorema.
Primjeri rješavanja problema
Primjer 1. Pronađite područje, ako .
Rješenje. Pošto ovdje , prema teoremi 1 dobijamo
Odgovor: .
Bilješka, ako su stranice trouglapoprimaju iracionalna značenja, zatim izračunavanje njegove površinekoristeći formulu (1), obično , je neefikasna. U ovom slučaju je svrsishodno direktno primijeniti formule (2) i (3).
Primjer 2 Pronađite područje ako , i .
Rješenje. Uzimajući u obzir formule (2) i (3), dobijamo
Od , tada ili .
Odgovor: .
Primjer 3 Pronađite područje ako , i .
Rješenje. Zbog ,
onda iz teoreme 2 slijedi da .
Odgovor: .
Primjer 4 Trokut ima strane , i . Pronađite i , Gdje su poluprečnici opisane i upisane kružnice, respektivno.
Rješenje. Prvo izračunajmo površinu. Budući da , onda iz formule (1) dobivamo .
Poznato je da i . Zbog toga .
Primjer 5 Nađite područje četverokuta upisan u krug ako , , I .
Rješenje. Iz uslova primjera slijedi da . Tada, prema teoremi 3, dobijamo .
Primjer 6 Nađite površinu četverokuta upisan u krug sa stranicama , , i .
Rješenje. Budući da i , Tada vrijedi jednakost u četverokutu. Međutim, poznato je da je postojanje takve jednakosti neophodan i dovoljan uslov da se kružnica upiše u dati četvorougao. U tom smislu, formula (10) se može koristiti za izračunavanje površine, iz čega slijedi .
Za samostalnu i kvalitetnu pripremu za prijemne ispite iz oblasti rješavanja zadataka školske geometrije, možete efikasno koristiti udžbenike, navedeno na listi preporučene literature.
1. Gotman E.G. Problemi u planimetriji i metode za njihovo rješavanje. – M.: Prosvjeta, 1996. – 240 str.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Geometrija trougla u problemima. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2009. - 208 str.
3. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove / Ed. M.I. Scanavi. - M.: Svijet i obrazovanje, 2013. - 608 str.
4. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 str.
Imate bilo kakvih pitanja?
Za pomoć od tutora -.
blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.
Gerona formula Formula heroja
izražava područje s trougla u smislu dužina njegove tri strane A, b I With i poluperimetar R = (A + b + With)/2: . Ime je dobio po Heronu Aleksandrijskom.
HERONA FORMULAFORMULA ČAPLJE, izražava površinu S trougla u smislu dužina njegove tri strane a, b I c i poluperimetar P = (a + b + c)/2
Ime je dobio po Heronu Aleksandrijskom.
enciklopedijski rječnik. 2009 .
Pogledajte šta je "Geronova formula" u drugim rječnicima:
Izražava površinu S trougla u smislu dužina njegove tri strane a, b i c i poluperimetra P = (a + b + c) / 2 Nazvan po Heronu Aleksandrijskom ... Veliki enciklopedijski rječnik
Formula koja izražava površinu trougla kroz njegove tri strane. Naime, ako su a, b, c dužine stranica trougla, a a S njegova površina, onda je G. f. ima oblik: gdje p označava poluperimetar trokuta G. f. ... ...
Formula koja izražava površinu trougla u smislu njegovih stranica a, b, c: gdje je nazvana po Heronu (oko 1. vek nove ere), A. B. Ivanov ... Mathematical Encyclopedia
Izražava površinu 5 trokuta u smislu dužina njegove tri strane a, b i c i poluperimetra p = (a + b + c) / 2: s = kvadrat. korijen p(p a)(p b)(p c). Ime je dobio po Heronu Aleksandrijskom... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik
- ... Wikipedia
Omogućava vam da izračunate površinu trokuta (S) na njegovim stranicama a, b, c: gdje je p poluperimetar trokuta: . Dokaz gdje je ugao trouglast ... Wikipedia
Izražava površinu četverokuta upisanog u krug kao funkciju dužina njegovih stranica. Ako upisani četvorougao ima dužine stranica i poluperimetar, onda je njegova površina ... Wikipedia
U ovom članku nedostaju veze do izvora informacija. Informacije moraju biti provjerljive, u suprotnom mogu biti ispitane i uklonjene. Možete urediti ovaj članak kako biste uključili veze do mjerodavnih izvora. Ova oznaka ... ... Wikipedia
- (Heronus Alexandrinus) (godine rođenja i smrti nepoznate, vjerovatno 1. vek), starogrčki naučnik koji je radio u Aleksandriji. Autor radova u kojima je sistematski prikazao glavna dostignuća antičkog svijeta u oblasti primijenjene mehanike, V ... ... Velika sovjetska enciklopedija
Aleksandrijac (Heronus Alexandrinus) (godine rođenja i smrti nepoznate, verovatno 1. vek), starogrčki naučnik koji je radio u Aleksandriji. Autor radova u kojima je sistematski prikazao glavna dostignuća antičkog svijeta u oblasti ... ... Velika sovjetska enciklopedija
Ova formula vam omogućava da izračunate površinu trokuta duž njegovih stranica a, b i c:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-s),gdje je p poluperimetar trougla, tj. p = (a + b + c)/2.
Formula je dobila ime po starogrčkom matematičaru Heronu iz Aleksandrije (oko 1. veka). Heron je razmatrao trouglove sa cijelim stranicama, čije su površine također cijeli brojevi. Takvi trouglovi se nazivaju heronskim. Na primjer, to su trokuti sa stranicama 13, 14, 15 ili 51, 52, 53.
Postoje analozi Heronove formule za četvorouglove. Zbog činjenice da problem konstruisanja četvorougla duž njegovih stranica a, b, c i d ima više od jednog rešenja, u opštem slučaju, površina četvorougla nije dovoljna da bi se znale dužine stranica. Morate unijeti dodatne parametre ili nametnuti ograničenja. Na primjer, površina upisanog četverokuta nalazi se po formuli: S \u003d √ (p-a) (p-b) (p-c) (p-d)
Ako je četverougao istovremeno i upisan i opisan, njegova površina je po jednostavnijoj formuli: S=√(abcd).
Heron od Aleksandrije - grčki matematičar i mehaničar.
Prvi je izumio automatska vrata, automatsko lutkarsko pozorište, automat za prodaju, brzometni samostalni samostrel, parnu turbinu, automatsku scenografiju, uređaj za mjerenje dužine puteva (stari kilometraža) itd. Bio je prvi koji je stvorio programabilne uređaje (osovinu sa iglama oko koje je namotano uže).
Studirao je geometriju, mehaniku, hidrostatiku, optiku. Glavna djela: metrika, pneumatika, autotopoetika, mehanika (djelo je u potpunosti sačuvano u arapskom prijevodu), katoptrika (nauka o ogledalima; sačuvana je samo u latinskom prevodu) itd. premjer zemljišta, zapravo zasnovan na upotrebi pravougaone koordinate. Heron je koristio dostignuća svojih prethodnika: Euklida, Arhimeda, Stratona iz Lampsaka. Mnoge njegove knjige su nepovratno izgubljene (svitci su se čuvali u Aleksandrijskoj biblioteci).
U raspravi "Mehanika" Heron je opisao pet tipova najjednostavnijih mašina: poluga, kapija, klin, vijak i blok.
U raspravi "Pneumatika" Heron je opisao različite sifone, genijalno uređene posude, automate, koji se pokreću komprimiranim zrakom ili parom. Ovo je eolipil, koji je bio prva parna turbina - kugla koja se rotira snagom mlaza vodene pare; otvarač vrata, automat za prodaju vode, vatrogasna pumpa, vodene orgulje, mehaničko pozorište lutaka.
Knjiga "O dioptriji" opisuje dioptriju - najjednostavniji uređaj koji se koristi za geodetske radove. Geron u svojoj raspravi postavlja pravila premjera zemljišta na temelju korištenja pravokutnih koordinata.
U "Katoptriku" Heron opravdava pravoliniju svetlosnih zraka beskonačno velikom brzinom njihovog širenja. Heron razmatra različite vrste ogledala, obraćajući posebnu pažnju na cilindrična ogledala.
Heronova "Metrika" i "Geometrija" i "Stereometrija" izvučene iz nje su referentne knjige o primenjenoj matematici. Među informacijama sadržanim u "Metričkim" informacijama:
Formule za površine pravilnih poligona.
Zapremine pravilnih poliedara, piramide, konusa, skraćenog konusa, torusa, sfernog segmenta.
Heronova formula za izračunavanje površine trokuta iz dužina njegovih stranica (otkrio Arhimed).
Pravila za numeričko rješavanje kvadratnih jednačina.
Algoritmi za vađenje kvadratnih i kubnih korijena.
Heronova knjiga "Definicije" je opsežna zbirka geometrijskih definicija, koje se uglavnom poklapaju sa definicijama Euklidovih "Elemenata".
Sposobnost matematičkog razmišljanja jedna od najplemenitijih ljudskih sposobnosti.
Irski dramski pisac Bernard Shaw
Heronova formula
U školskoj matematici, Heronova formula je vrlo popularna, čija upotreba vam omogućava da izračunate površinu trokuta duž njegove tri strane. Istovremeno, malo učenika zna da postoji slična formula za izračunavanje površine četverokuta upisanih u krug. Takva formula se naziva Brahmaguptina formula. Postoji i malo poznata formula za izračunavanje površine trokuta iz njegove tri visine, čije izvođenje slijedi iz Heronove formule.
Izračunavanje površine trokuta
Neka u trougao strane, i . Tada vrijedi sljedeća teorema (Heronova formula).
Teorema 1.
Gdje .
Dokaz. Prilikom izvođenja formule (1) koristit ćemo se dobro poznatim geometrijama tric formule
, (2)
. (3)
Iz formula (2) i (3) dobijamo i . Od tada
. (4)
Ako odredimo onda formula (1) slijedi iz jednakosti (4). Teorema je dokazana.
Razmotrimo sada pitanje izračunavanja površine trokuta s obzirom na to, da su poznate njegove tri visine, I .
Teorema 2. Površina se izračunava po formuli
. (5)
Dokaz. Od , i , onda
U ovom slučaju, iz formule (1) dobijamo
ili
Iz ovoga slijedi formula (5). Teorema je dokazana.
Izračunavanje površine četvorougla
Razmotrimo generalizaciju Heronove formule za slučaj izračunavanja površine četverokuta. Međutim, odmah treba napomenuti da je takva generalizacija moguća samo za četverouglove koji su upisani u krug.
Neka je četvorougao ima strane , , i .
Ako je četverougao, upisan u krug, tada vrijedi teorema 3 (Brahmaguptina formula).
Teorema 3. Square izračunato po formuli
Gdje .
Dokaz. Nacrtajte dijagonalu u četverougao i dobiti dva trokuta i . Ako primijenimo kosinus teorem na ove trokute, što je ekvivalentno formuli (3), onda možemo napisati
Budući da je četverougao upisan u krug, zbir njegovih suprotnih uglova je , tj. .
Jer ili onda iz (7) dobijamo
Or
. (8)
Od tada . Međutim, i stoga
Budući da , onda formule (8) i (9) impliciraju
ako stavimo, onda odavde dobijamo formulu (6). Teorema je dokazana.
Ako je upisani četverougaoje ujedno i opisano, onda je formula (6) znatno pojednostavljena.
Teorema 4. Površina četverokuta, upisanog u jedan krug i opisanog oko drugog, izračunava se po formuli
. (10)
Dokaz. Kako je kružnica upisana u četverokut, jednakosti
U ovom slučaju , , , i formula (6) se lako pretvara u formulu (10). Teorema je dokazana.
Pređimo na razmatranje primjera geometrijskih problema, čije se rješavanje izvodi na osnovu primjene dokazanih teorema.
Primjeri rješavanja problema
Primjer 1. Pronađite područje, ako .
Rješenje. Pošto ovdje , prema teoremi 1 dobijamo
Odgovor: .
Bilješka, ako su stranice trouglapoprimaju iracionalna značenja, zatim izračunavanje njegove površinekoristeći formulu (1), obično , je neefikasna. U ovom slučaju je svrsishodno direktno primijeniti formule (2) i (3).
Primjer 2 Pronađite područje ako , i .
Rješenje. Uzimajući u obzir formule (2) i (3), dobijamo
Od , tada ili .
Odgovor: .
Primjer 3 Pronađite područje ako , i .
Rješenje. Zbog ,
onda iz teoreme 2 slijedi da .
Odgovor: .
Primjer 4 Trokut ima strane , i . Pronađite i , Gdje su poluprečnici opisane i upisane kružnice, respektivno.
Rješenje. Prvo izračunajmo površinu. Budući da , onda iz formule (1) dobivamo .
Poznato je da i . Zbog toga .
Primjer 5 Nađite područje četverokuta upisan u krug ako , , I .
Rješenje. Iz uslova primjera slijedi da . Tada, prema teoremi 3, dobijamo .
Primjer 6 Nađite površinu četverokuta upisan u krug sa stranicama , , i .
Rješenje. Budući da i , Tada vrijedi jednakost u četverokutu. Međutim, poznato je da je postojanje takve jednakosti neophodan i dovoljan uslov da se kružnica upiše u dati četvorougao. U tom smislu, formula (10) se može koristiti za izračunavanje površine, iz čega slijedi .
Za samostalnu i kvalitetnu pripremu za prijemne ispite iz oblasti rješavanja zadataka školske geometrije, možete efikasno koristiti udžbenike, navedeno na listi preporučene literature.
1. Gotman E.G. Problemi u planimetriji i metode za njihovo rješavanje. – M.: Prosvjeta, 1996. – 240 str.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Geometrija trougla u problemima. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2009. - 208 str.
3. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove / Ed. M.I. Scanavi. - M.: Svijet i obrazovanje, 2013. - 608 str.
4. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 str.
Imate bilo kakvih pitanja?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.
Preliminarne informacije
Za početak uvodimo informacije i oznake koje će biti potrebne u nastavku.
Razmotrićemo trougao $ABC$ sa oštrim uglovima $A$ i $C$. Nacrtajte visinu $BH$ u njemu. Uvedemo sljedeću notaciju: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $ (slika 1).
Slika 1.
Uvodimo bez dokaza teoremu o površini trougla.
Teorema 1
Površina trokuta se definiše kao polovina umnoška dužine njegove stranice i visine koja mu je povučena, tj.
Heronova formula
Uvodimo i dokazujemo teoremu o pronalaženju površine trokuta date tri poznate stranice. Ova formula se zove Heronove formule.
Teorema 2
Neka su nam date tri stranice trougla $a,\ b\ i\ c$. Tada se površina ovog trokuta izražava na sljedeći način
gdje je $p$ poluperimetar datog trougla.
Dokaz.
Koristićemo notaciju uvedenu na slici 1.
Razmotrimo trougao $ABH$. Po Pitagorinoj teoremi, dobijamo
Očigledno je da je $HC=AC-AH=b-x$
Razmotrimo trougao $\CBH$. Po Pitagorinoj teoremi, dobijamo
\ \ \
Izjednačite vrijednosti kvadrata visine iz dvije dobivene relacije
\ \ \
Iz prve jednačine nalazimo visinu
\ \ \ \ \ \
Pošto je poluperimetar jednak $p=\frac(a+b+c)(2)$, tj. $a+b+c=2p$, onda
\ \ \ \
Prema teoremi 1, dobijamo
Teorema je dokazana.
Primjeri zadataka za korištenje Heron formule
Primjer 1
Nađite površinu trokuta ako su njegove stranice $3$ cm, $6$ cm i $7$ cm.
Rješenje.
Nađimo prvo poluperimetar ovog trougla
Prema teoremi 2, dobijamo
odgovor:$4\sqrt(5)$.
