Capacité à penser mathématiquement une des capacités humaines les plus nobles.
Dramaturge irlandais Bernard Shaw
La formule du Héron
En mathématiques scolaires, la formule de Heron est très populaire, dont l'utilisation vous permet de calculer l'aire d'un triangle le long de ses trois côtés. Dans le même temps, peu d'étudiants savent qu'il existe une formule similaire pour calculer l'aire des quadrilatères inscrits dans un cercle. Une telle formule s'appelle la formule de Brahmagupta. Il existe également une formule peu connue pour calculer l'aire d'un triangle à partir de ses trois hauteurs, dont la dérivation découle de la formule de Heron.
Calcul de l'aire des triangles
Laisser en triangle côtés, et . Alors le théorème suivant (formule de Heron) est valide.
Théorème 1.
Où .
Preuve. Lors de la dérivation de la formule (1), nous utiliserons les géométries bien connues formules tric
, (2)
. (3)
A partir des formules (2) et (3) on obtient et . Depuis
. (4)
Si nous désignons alors la formule (1) découle de l'égalité (4). Le théorème a été démontré.
Considérons maintenant la question du calcul de l'aire d'un triangleétant donné que , que ses trois hauteurs sont connues, Et .
Théorème 2. La superficie est calculée par la formule
. (5)
Preuve. Depuis , et , alors
Dans ce cas, à partir de la formule (1) on obtient
ou
La formule (5) en découle. Le théorème a été prouvé.
Calcul de l'aire des quadrilatères
Considérons une généralisation de la formule de Heron pour le cas du calcul de l'aire des quadrilatères. Cependant, il convient de noter immédiatement qu'une telle généralisation n'est possible que pour les quadrilatères inscrits dans un cercle.
Laissez le quadrilatère a des côtés , , et .
Si est un quadrilatère, inscrit dans un cercle, alors le théorème 3 (formule de Brahmagupta) est vrai.
Théorème 3. Carré calculé par la formule
Où .
Preuve. Tracez une diagonale dans un quadrilatère et obtenez deux triangles et . Si nous appliquons le théorème du cosinus à ces triangles, ce qui équivaut à la formule (3), alors nous pouvons écrire
Comme le quadrilatère est inscrit dans un cercle, la somme de ses angles opposés est , c'est-à-dire .
Parce que ou alors de (7) on obtient
Ou
. (8)
Depuis . Cependant, et donc
Puisque , alors les formules (8) et (9) impliquent
Si on pose , puis à partir de là, nous obtenons la formule (6). Le théorème a été démontré.
Si le quadrilatère inscritest en même temps décrit, alors la formule (6) est grandement simplifiée.
Théorème 4. L'aire d'un quadrilatère, inscrite dans un cercle et décrite autour de l'autre, est calculée par la formule
. (10)
Preuve. Comme un cercle est inscrit dans un quadrilatère, les égalités
Dans ce cas , , , et la formule (6) est facilement convertie en formule (10). Le théorème a été démontré.
Passons à l'examen d'exemples de problèmes de géométrie, dont la solution est effectuée sur la base de l'application des théorèmes éprouvés.
Exemples de résolution de problèmes
Exemple 1. Rechercher une zone, si .
Solution. Puisqu'ici , d'après le théorème 1 on obtient
Répondre: .
Note, si les côtés du triangleprendre des significations irrationnelles, puis le calcul de son aireen utilisant la formule (1), généralement , est inefficace. Dans ce cas, il convient d'appliquer directement les formules (2) et (3).
Exemple 2 Trouvez la zone si , et .
Solution. En tenant compte des formules (2) et (3), on obtient
Depuis , alors ou .
Répondre: .
Exemple 3 Trouvez la zone si , et .
Solution. Parce que le ,
alors il découle du théorème 2 que .
Répondre: .
Exemple 4 Le triangle a des côtés , et . Trouvez et , où sont respectivement les rayons des cercles circonscrits et inscrits.
Solution. Calculons d'abord l'aire. Puisque , alors à partir de la formule (1) nous obtenons .
On sait que et . C'est pourquoi .
Exemple 5 Trouver l'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle si , , et .
Solution. Il découle des conditions de l'exemple que . Alors, d'après le théorème 3, on obtient .
Exemple 6 Trouver l'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle de côtés , , et .
Solution. Puisque et , alors l'égalité est vraie dans le quadrilatère. Or, on sait que l'existence d'une telle égalité est une condition nécessaire et suffisante pour qu'un cercle s'inscrive dans un quadrilatère donné. À cet égard, la formule (10) peut être utilisée pour calculer la superficie, d'où découle .
Pour une préparation indépendante et de haute qualité aux tests d'entrée dans le domaine de la résolution de problèmes de géométrie scolaire, vous pouvez utiliser efficacement les manuels, répertoriés dans la liste des lectures recommandées.
1. Gotman par exemple Problèmes de planimétrie et méthodes pour leur solution. – M. : Lumières, 1996. – 240 p.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Géométrie du triangle dans les problèmes. - M. : KD "Librocom" / URSS, 2009. - 208 p.
3. Recueil de problèmes en mathématiques pour les candidats aux établissements d'enseignement supérieur / Éd. MI. Scanavi. - M. : Monde et Education, 2013. - 608 p.
4. Suprun V.P. Mathématiques pour les lycéens : sections complémentaires du programme scolaire. – M. : Lenand / URSS, 2014. - 216 p.
Avez-vous des questions?
Pour obtenir de l'aide d'un tuteur -.
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Formule Gérone Formule héros
exprime le domaine s triangle en fonction des longueurs de ses trois côtés UN, b Et Avec et demi-périmètre R = (UN + b + Avec)/2 : . Nommé d'après Héron d'Alexandrie.
FORMULE HÉRONEHERON FORMULA, exprime la zone S triangle en fonction des longueurs de ses trois côtés un, b Et c et demi-périmètre P = (un + b + c)/2
Nommé d'après Héron d'Alexandrie.
Dictionnaire encyclopédique. 2009 .
Voyez ce qu'est la "formule de Geron" dans d'autres dictionnaires :
Exprime l'aire S d'un triangle en fonction des longueurs de ses trois côtés a, b et c et du demi-périmètre P = (a + b + c) / 2 Nommé d'après Héron d'Alexandrie ... Grand dictionnaire encyclopédique
Formule exprimant l'aire d'un triangle en fonction de ses trois côtés. A savoir, si a, b, c sont les longueurs des côtés du triangle, et a S est son aire, alors le G. f. a la forme : où p désigne le demi-périmètre du triangle G. f. ... ...
La formule exprimant l'aire d'un triangle en fonction de ses côtés a, b, c: où Nommé d'après Heron (c. 1er siècle après JC), A. B. Ivanov ... Encyclopédie mathématique
Exprime l'aire 5 d'un triangle en fonction des longueurs de ses trois côtés a, b et c et du demi-périmètre p \u003d (a + b + c) / 2: s \u003d carré. racine p(p a)(p b)(p c). Nommé d'après Héron d'Alexandrie... Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique
- ... Wikipédia
Permet de calculer l'aire d'un triangle (S) sur ses côtés a, b, c : où p est le demi-périmètre du triangle : . Preuve où l'angle est triangulaire ... Wikipedia
Exprime l'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle en fonction des longueurs de ses côtés. Si un quadrilatère inscrit a des côtés et un demi-périmètre, alors son aire est ... Wikipedia
Cet article manque de liens vers des sources d'information. Les informations doivent être vérifiables, sinon elles peuvent être remises en question et supprimées. Vous pouvez modifier cet article pour inclure des liens vers des sources faisant autorité. Cette marque ... ... Wikipedia
- (Heronus Alexandrinus) (années de naissance et de décès inconnues, probablement 1er siècle), un ancien scientifique grec qui a travaillé à Alexandrie. L'auteur d'ouvrages dans lesquels il a systématiquement décrit les principales réalisations du monde antique dans le domaine de la mécanique appliquée, V ... ... Grande Encyclopédie soviétique
Alexandrin (Heronus Alexandrinus) (années de naissance et de décès inconnues, probablement 1er siècle), un ancien scientifique grec qui a travaillé à Alexandrie. L'auteur d'ouvrages dans lesquels il a systématiquement décrit les principales réalisations du monde antique dans le domaine de ... ... Grande Encyclopédie soviétique
Cette formule permet de calculer l'aire d'un triangle le long de ses côtés a, b et c :
S=√(p(p-a)(p-b)(p-s),où p est le demi-périmètre du triangle, soit p = (a + b + c)/2.
La formule porte le nom de l'ancien mathématicien grec Héron d'Alexandrie (vers le 1er siècle). Heron considérait des triangles à côtés entiers dont les aires sont également des entiers. De tels triangles sont appelés héroniens. Par exemple, ce sont des triangles de côtés 13, 14, 15 ou 51, 52, 53.
Il existe des analogues de la formule de Heron pour les quadrilatères. Du fait que le problème de la construction d'un quadrilatère le long de ses côtés a, b, c et d a plus d'une solution, dans le cas général, l'aire d'un quadrilatère ne suffit pas pour connaître les longueurs des côtés. Vous devez entrer des paramètres supplémentaires ou imposer des restrictions. Par exemple, l'aire d'un quadrilatère inscrit se trouve par la formule : S \u003d √ (p-a) (p-b) (p-c) (p-d)
Si le quadrilatère est à la fois inscrit et circonscrit, son aire est par une formule plus simple : S=√(abcd).
Héron d'Alexandrie - Mathématicien et mécanicien grec.
Il est le premier à inventer des portes automatiques, un théâtre de marionnettes automatique, un distributeur automatique, une arbalète à chargement rapide, une turbine à vapeur, des décors automatiques, un appareil de mesure de la longueur des routes (ancien odomètre), etc. Il a été le premier à créer des dispositifs programmables (un arbre avec des broches avec une corde enroulée autour).
Il a étudié la géométrie, la mécanique, l'hydrostatique, l'optique. Ouvrages principaux : Métrique, Pneumatique, Autotopoétique, Mécanique (l'ouvrage a été entièrement conservé en traduction arabe), Catoptrique (la science des miroirs ; il n'a été conservé qu'en traduction latine), etc. Coordonnées rectangulaires. Heron a utilisé les réalisations de ses prédécesseurs : Euclide, Archimède, Strato de Lampsak. Beaucoup de ses livres sont irrémédiablement perdus (les rouleaux étaient conservés à la Bibliothèque d'Alexandrie).
Dans le traité "Mécanique", Heron décrit cinq types de machines les plus simples: levier, porte, coin, vis et bloc.
Dans le traité "Pneumatique", Héron décrit divers siphons, récipients ingénieusement agencés, automates, mis en mouvement par de l'air comprimé ou de la vapeur. Il s'agit d'un aeolipil, qui fut la première turbine à vapeur - une boule mise en rotation par la puissance de jets de vapeur d'eau ; ouvre-porte, distributeur d'eau bénite, pompe à incendie, orgue à eau, théâtre de marionnettes mécaniques.
Le livre "On the Diopter" décrit un dioptre - l'appareil le plus simple utilisé pour les travaux géodésiques. Géron expose dans son traité les règles de l'arpentage basé sur l'utilisation de coordonnées rectangulaires.
Dans "Katoptrik", Heron justifie la rectitude des rayons lumineux avec une vitesse infiniment élevée de leur propagation. Heron considère différents types de miroirs, en accordant une attention particulière aux miroirs cylindriques.
La « Métrique » de Heron et la « Géométrie » et la « Stéréométrie » qui en sont extraites sont des ouvrages de référence sur les mathématiques appliquées. Parmi les informations contenues dans les informations "Metric" :
Formules pour les aires de polygones réguliers.
Volumes de polyèdres réguliers, pyramide, cône, tronc de cône, tore, segment de sphère.
Formule de Heron pour calculer l'aire d'un triangle à partir des longueurs de ses côtés (découverte par Archimède).
Règles pour la résolution numérique des équations quadratiques.
Algorithmes d'extraction de racines carrées et cubiques.
Le livre de Heron "Définitions" est une vaste collection de définitions géométriques, coïncidant pour la plupart avec les définitions des "Éléments" d'Euclide.
Capacité à penser mathématiquement une des capacités humaines les plus nobles.
Dramaturge irlandais Bernard Shaw
La formule du Héron
En mathématiques scolaires, la formule de Heron est très populaire, dont l'utilisation vous permet de calculer l'aire d'un triangle le long de ses trois côtés. Dans le même temps, peu d'étudiants savent qu'il existe une formule similaire pour calculer l'aire des quadrilatères inscrits dans un cercle. Une telle formule s'appelle la formule de Brahmagupta. Il existe également une formule peu connue pour calculer l'aire d'un triangle à partir de ses trois hauteurs, dont la dérivation découle de la formule de Heron.
Calcul de l'aire des triangles
Laisser en triangle côtés, et . Alors le théorème suivant (formule de Heron) est valide.
Théorème 1.
Où .
Preuve. Lors de la dérivation de la formule (1), nous utiliserons les géométries bien connues formules tric
, (2)
. (3)
A partir des formules (2) et (3) on obtient et . Depuis
. (4)
Si nous désignons alors la formule (1) découle de l'égalité (4). Le théorème a été démontré.
Considérons maintenant la question du calcul de l'aire d'un triangleétant donné que , que ses trois hauteurs sont connues, Et .
Théorème 2. La superficie est calculée par la formule
. (5)
Preuve. Depuis , et , alors
Dans ce cas, à partir de la formule (1) on obtient
ou
La formule (5) en découle. Le théorème a été prouvé.
Calcul de l'aire des quadrilatères
Considérons une généralisation de la formule de Heron pour le cas du calcul de l'aire des quadrilatères. Cependant, il convient de noter immédiatement qu'une telle généralisation n'est possible que pour les quadrilatères inscrits dans un cercle.
Laissez le quadrilatère a des côtés , , et .
Si est un quadrilatère, inscrit dans un cercle, alors le théorème 3 (formule de Brahmagupta) est vrai.
Théorème 3. Carré calculé par la formule
Où .
Preuve. Tracez une diagonale dans un quadrilatère et obtenez deux triangles et . Si nous appliquons le théorème du cosinus à ces triangles, ce qui équivaut à la formule (3), alors nous pouvons écrire
Comme le quadrilatère est inscrit dans un cercle, la somme de ses angles opposés est , c'est-à-dire .
Parce que ou alors de (7) on obtient
Ou
. (8)
Depuis . Cependant, et donc
Puisque , alors les formules (8) et (9) impliquent
Si on pose , puis à partir de là, nous obtenons la formule (6). Le théorème a été démontré.
Si le quadrilatère inscritest en même temps décrit, alors la formule (6) est grandement simplifiée.
Théorème 4. L'aire d'un quadrilatère, inscrite dans un cercle et décrite autour de l'autre, est calculée par la formule
. (10)
Preuve. Comme un cercle est inscrit dans un quadrilatère, les égalités
Dans ce cas , , , et la formule (6) est facilement convertie en formule (10). Le théorème a été démontré.
Passons à l'examen d'exemples de problèmes de géométrie, dont la solution est effectuée sur la base de l'application des théorèmes éprouvés.
Exemples de résolution de problèmes
Exemple 1. Rechercher une zone, si .
Solution. Puisqu'ici , d'après le théorème 1 on obtient
Répondre: .
Note, si les côtés du triangleprendre des significations irrationnelles, puis le calcul de son aireen utilisant la formule (1), généralement , est inefficace. Dans ce cas, il convient d'appliquer directement les formules (2) et (3).
Exemple 2 Trouvez la zone si , et .
Solution. En tenant compte des formules (2) et (3), on obtient
Depuis , alors ou .
Répondre: .
Exemple 3 Trouvez la zone si , et .
Solution. Parce que le ,
alors il découle du théorème 2 que .
Répondre: .
Exemple 4 Le triangle a des côtés , et . Trouvez et , où sont respectivement les rayons des cercles circonscrits et inscrits.
Solution. Calculons d'abord l'aire. Puisque , alors à partir de la formule (1) nous obtenons .
On sait que et . C'est pourquoi .
Exemple 5 Trouver l'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle si , , et .
Solution. Il découle des conditions de l'exemple que . Alors, d'après le théorème 3, on obtient .
Exemple 6 Trouver l'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle de côtés , , et .
Solution. Puisque et , alors l'égalité est vraie dans le quadrilatère. Or, on sait que l'existence d'une telle égalité est une condition nécessaire et suffisante pour qu'un cercle s'inscrive dans un quadrilatère donné. À cet égard, la formule (10) peut être utilisée pour calculer la superficie, d'où découle .
Pour une préparation indépendante et de haute qualité aux tests d'entrée dans le domaine de la résolution de problèmes de géométrie scolaire, vous pouvez utiliser efficacement les manuels, répertoriés dans la liste des lectures recommandées.
1. Gotman par exemple Problèmes de planimétrie et méthodes pour leur solution. – M. : Lumières, 1996. – 240 p.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Géométrie du triangle dans les problèmes. - M. : KD "Librocom" / URSS, 2009. - 208 p.
3. Recueil de problèmes en mathématiques pour les candidats aux établissements d'enseignement supérieur / Éd. MI. Scanavi. - M. : Monde et Education, 2013. - 608 p.
4. Suprun V.P. Mathématiques pour les lycéens : sections complémentaires du programme scolaire. – M. : Lenand / URSS, 2014. - 216 p.
Avez-vous des questions?
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Information préliminaire
Pour commencer, nous introduisons les informations et les notations qui seront nécessaires dans ce qui suit.
Considérons le triangle $ABC$ d'angles aigus $A$ et $C$. Dessinez-y une hauteur $BH$. Introduisons la notation suivante : $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $ (Fig. 1).
Image 1.
Nous introduisons sans démonstration le théorème de l'aire du triangle.
Théorème 1
L'aire d'un triangle est définie comme la moitié du produit de la longueur de son côté et de la hauteur qui lui est tracée, c'est-à-dire
La formule du Héron
Nous introduisons et prouvons un théorème sur la recherche de l'aire d'un triangle étant donné trois côtés connus. Cette formule s'appelle Formules de Héron.
Théorème 2
Donnons-nous trois côtés d'un triangle $a,\ b\ et\ c$. Alors l'aire de ce triangle s'exprime comme suit
où $p$ est le demi-périmètre du triangle donné.
Preuve.
Nous utiliserons la notation introduite dans la figure 1.
Considérons le triangle $ABH$. Par le théorème de Pythagore, on obtient
Il est évident que $HC=AC-AH=b-x$
Considérez le triangle $\CBH$. Par le théorème de Pythagore, on obtient
\ \ \
Mettre en équation les valeurs de la hauteur au carré à partir des deux relations obtenues
\ \ \
De la première équation, nous trouvons la hauteur
\ \ \ \ \ \
Comme le demi-périmètre est égal à $p=\frac(a+b+c)(2)$, soit $a+b+c=2p$, alors
\ \ \ \
D'après le théorème 1, on obtient
Le théorème a été démontré.
Exemples de tâches pour l'utilisation de la formule Heron
Exemple 1
Trouve l'aire d'un triangle si ses côtés mesurent $3$ cm, $6$ cm et $7$ cm.
Solution.
Trouvons d'abord le demi-périmètre de ce triangle
D'après le théorème 2, on obtient
Répondre:$4\carré(5)$.
