Способност за математическо мислене –една от най-благородните способности на човека.
Ирландският драматург Бърнард Шоу
Формулата на Херон
В училищната математика формулата на Heron е много популярна, използването на която ви позволява да изчислите площта на триъгълник въз основа на трите му страни. В същото време малко ученици знаят, че има подобна формула за изчисляване на площта на четириъгълници, вписани в кръг. Тази формула се нарича формула на Брахмагупта. Също така малко известна е формулата за изчисляване на площта на триъгълник от трите му височини, чието извеждане следва от формулата на Херон.
Изчисляване на площта на триъгълниците
Пуснете в триъгълникстрани и . Тогава е валидна следната теорема (формулата на Херон).
Теорема 1.
Къде .
Доказателство.Когато извеждаме формула (1), ще използваме известни геоми трик формули
, (2)
. (3)
От формули (2) и (3) получаваме и . От тогава
. (4)
Ако обозначим то от равенство (4) следва формула (1). Теоремата е доказана.
Нека сега разгледаме въпроса за изчисляване на площта на триъгълникпредвид това, че са известни трите му височини, И .
Теорема 2.Площта се изчислява по формулата
. (5)
Доказателство.Тъй като , и , тогава
В този случай от формула (1) получаваме
или
От това следва формула (5). Теоремата е доказана.
Изчисляване на площта на четириъгълниците
Нека разгледаме обобщение на формулата на Heron за случая на изчисляване на площта на четириъгълниците. Веднага обаче трябва да се отбележи, че такова обобщение е възможно само за четириъгълници, които са вписани в кръг.
Нека четириъгълникаима страни , , и .
Ако е четириъгълник, вписан в кръг, тогава Теорема 3 (формулата на Брахмагупта) е вярна.
Теорема 3.Квадрат изчислено по формулата
Къде .
Доказателство.Нека начертаем диагонал в четириъгълник и ще получим два триъгълника и . Ако приложим косинусовата теорема към тези триъгълници, което е еквивалентно на формула (3), тогава можем да напишем
Тъй като четириъгълникът е вписан в окръжност, сборът от срещуположните му ъгли е равен, т.е. .
Защото или тогава от (7) получаваме
или
. (8)
От тогава. Въпреки това и следователно
Тъй като , то от формули (8) и (9) следва
Ако поставите тогава от тук получаваме формула (6). Теоремата е доказана.
Ако цикличен четириъгълниксъщо е описано, тогава формула (6) е значително опростена.
Теорема 4.Площта на четириъгълник, вписан в един кръг и описан около друг, се изчислява по формулата
. (10)
Доказателство.Тъй като окръжност е вписана в четириъгълник, важат равенствата:
В този случай , , , и формула (6) лесно се преобразува във формула (10). Теоремата е доказана.
Нека да преминем към разглеждане на примери за геометрични задачи, чието решение се извършва въз основа на прилагането на доказани теореми.
Примери за решаване на проблеми
Пример 1. Намерете област, ако и .
Решение.Тъй като тук, то съгласно теорема 1 получаваме
Отговор: .
Забележка, ако страните на триъгълникприемат ирационални ценности, след това изчисляване на неговата площс помощта на формула (1)обикновено е неефективен. В този случай е препоръчително да се прилагат директно формули (2) и (3).
Пример 2.Намерете областта, ако , и .
Решение.Като вземем предвид формули (2) и (3), получаваме
Тъй като , тогава или .
Отговор: .
Пример 3.Намерете областта, ако , и .
Решение.тъй като,
тогава от теорема 2 следва, че .
Отговор: .
Пример 4.Триъгълник има страни и . Намерете и , Където са радиусите на описаната и вписана окръжност, съответно.
Решение.Първо, нека изчислим площта. Тъй като , то от формула (1) получаваме .
Известно е, че. Следователно и.
Пример 5.Намерете площта на четириъгълник, вписан в окръжност, ако , , и .
Решение.От примерните условия следва, че. Тогава, съгласно теорема 3, получаваме .
Пример 6.Намерете площта на четириъгълник, вписан в окръжност, чиито страни са , , и .
Решение.Тъй като и , равенството има в четириъгълника. Известно е обаче, че наличието на такова равенство е необходимо и достатъчно условие, за да може в даден четириъгълник да се впише окръжност. В тази връзка, за да изчислите площта, можете да използвате формула (10), от която следва.
За независима и висококачествена подготовка за приемни изпити в областта на решаването на училищни задачи по геометрия можете ефективно да използвате учебници, изброени в списъка с препоръчителна литература.
1. Готман Е.Г. Задачи по планиметрия и методи за решаването им. – М.: Образование, 1996. – 240 с.
2. Кулагин Е.Д. , Федин С.Н. Геометрия на триъгълник в задачи. – М.: CD “Либроком” / URSS, 2009. – 208 с.
3. Сборник задачи по математика за кандидати в колежи / Изд. M.I. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 с.
4. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. – 216 с.
Все още имате въпроси?
За да получите помощ от учител -.
blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.
Формулата на Херон Формулата на Херон
изразява площ sна триъгълник през дължините на трите му страни А, bИ си полупериметър r = (А + b + с)/2: . Кръстен на Херон от Александрия.
ХЕРОНА ФОРМУЛАХЕРОНА ФОРМУЛА, изразява площ Сна триъгълник през дължините на трите му страни а, bИ cи полупериметър П = (а + b + c)/2
Кръстен на Херон от Александрия.
Енциклопедичен речник. 2009 .
Вижте какво е "формулата на Херон" в други речници:
Изразява площта S на триъгълник чрез дължините на трите му страни a, b и c и полупериметъра P = (a + b + c)/2Кръстен на Херон от Александрия... Голям енциклопедичен речник
Формула, изразяваща площта на триъгълник през трите му страни. А именно, ако a, b, C са дължините на страните на триъгълник, а S е неговата площ, тогава G. f. има формата: където p означава полупериметъра на триъгълника G. f.... ...
Формула, изразяваща площта на триъгълник през неговите страни a, b, c: където Кръстен на Херон (ок. 1 век сл. Хр.), А. Б. Иванов ... Математическа енциклопедия
Изразява площта 5 на триъгълник чрез дължините на трите му страни a, b и c и полупериметъра p = (a + b + c)/2: s = квадрат. корен p(p a)(p b)(p c). Кръстен на Херон от Александрия... Естествознание. Енциклопедичен речник
- ... Уикипедия
Позволява ви да изчислите площта на триъгълник (S) въз основа на неговите страни a, b, c: където p е полупериметърът на триъгълника: . Доказателство, където ъгълът е триъгълен... Уикипедия
Изразява площта на четириъгълник, вписан в окръжност, като функция от дължините на страните му. Ако вписан четириъгълник има дължини на страните и полупериметър, тогава неговата площ е ... Wikipedia
В тази статия липсват връзки към източници на информация. Информацията трябва да може да се провери, в противен случай може да бъде поставена под съмнение и изтрита. Можете да редактирате тази статия, за да добавите връзки към авторитетни източници. Този знак... ... Wikipedia
- (Heronus Alexandrinus) (годините на раждане и смърт са неизвестни, вероятно 1 век), древногръцки учен, работил в Александрия. Автор на произведения, в които систематично очертава основните постижения на древния свят в областта на приложната механика, V... ... Велика съветска енциклопедия
Александриец (Heronus Alexandrinus) (години на раждане и смърт неизвестни, вероятно 1 век), древногръцки учен, работил в Александрия. Автор на произведения, в които систематично очертава основните постижения на древния свят в областта на... ... Велика съветска енциклопедия
Тази формула ви позволява да изчислите площта на триъгълник въз основа на неговите страни a, b и c:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),където p е полупериметърът на триъгълника, т.е. p = (a + b + c)/2.
Формулата е кръстена на древногръцкия математик Херон от Александрия (около 1 век). Heron разглежда триъгълници с цели страни, чиито площи също са цели числа. Такива триъгълници се наричат херонови триъгълници. Например, това са триъгълници със страни 13, 14, 15 или 51, 52, 53.
Има аналози на формулата на Херон за четириъгълници. Поради факта, че проблемът за построяване на четириъгълник по неговите страни a, b, c и d има повече от едно решение, за да се изчисли площта на четириъгълник в общия случай, не е достатъчно само да се знаят дължините от страните. Трябва да въведете допълнителни параметри или да наложите ограничения. Например площта на вписан четириъгълник се намира по формулата: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)
Ако четириъгълник е вписан и описан едновременно, неговата площ е използвайки по-проста формула: S=√(abcd).
Александрийска чапла - гръцки математик и механик.
Той е първият, който изобретява автоматични врати, автоматичен куклен театър, автомат, бързострелен самозареждащ се арбалет, парна турбина, автоматични декорации, уред за измерване дължината на пътищата (древен одометър) и др. Той е първият, който създава програмируеми устройства (вал с щифтове с въже, навито около него).
Учил е геометрия, механика, хидростатика и оптика. Основни произведения: Метрика, Пневматика, Автоматопоетика, Механика (съчинението е запазено изцяло в арабски превод), Катоптрика (наука за огледалата; запазено само в латински превод) и др. През 1814 г. е намерено есето на Херон „За диоптъра“, което определя правилата за измерване на земята, всъщност въз основа на използването на правоъгълни координати. Херон използва постиженията на своите предшественици: Евклид, Архимед, Стратон от Лампсакус. Много от книгите му са безвъзвратно изгубени (свитъците се съхраняват в Александрийската библиотека).
В своя трактат „Механика“ Херон описва пет вида прости машини: лост, порта, клин, винт и блок.
В своя трактат „Пневматика“ Херон описва различни сифони, умело проектирани съдове и автомати, задвижвани от сгъстен въздух или пара. Това е еолипил, който е първата парна турбина - топка, въртяща се от силата на струи водна пара; машина за отваряне на врати, машина за продажба на "светена вода", пожарна помпа, воден орган, механичен куклен театър.
Книгата „За диоптъра” описва диоптъра - най-простото устройство, използвано за геодезическа работа. Херон излага в трактата си правилата за измерване на земята, базирани на използването на правоъгълни координати.
В Catoptrics Heron обосновава праволинейността на светлинните лъчи с безкрайно висока скорост на разпространение. Heron разглежда различни видове огледала, като обръща специално внимание на цилиндричните огледала.
„Метриката“ на Херон и извлечените от нея „Геометрия“ и „Стереометрия“ са справочници по приложна математика. Сред информацията, съдържаща се в Metrica:
Формули за площите на правилните многоъгълници.
Обем на правилни многостени, пирамида, конус, пресечен конус, тор, сферичен сегмент.
Формулата на Херон за изчисляване на площта на триъгълник от дължините на страните му (открита от Архимед).
Правила за числено решаване на квадратни уравнения.
Алгоритми за извличане на квадратни и кубични корени.
Книгата на Херон "Дефиниции" е обширна колекция от геометрични дефиниции, в по-голямата си част съвпадащи с дефинициите на Евклидовите "Елементи".
Способност за математическо мислене –една от най-благородните способности на човека.
Ирландският драматург Бърнард Шоу
Формулата на Херон
В училищната математика формулата на Heron е много популярна, използването на която ви позволява да изчислите площта на триъгълник въз основа на трите му страни. В същото време малко ученици знаят, че има подобна формула за изчисляване на площта на четириъгълници, вписани в кръг. Тази формула се нарича формула на Брахмагупта. Също така малко известна е формулата за изчисляване на площта на триъгълник от трите му височини, чието извеждане следва от формулата на Херон.
Изчисляване на площта на триъгълниците
Пуснете в триъгълникстрани и . Тогава е валидна следната теорема (формулата на Херон).
Теорема 1.
Къде .
Доказателство.Когато извеждаме формула (1), ще използваме известни геоми трик формули
, (2)
. (3)
От формули (2) и (3) получаваме и . От тогава
. (4)
Ако обозначим то от равенство (4) следва формула (1). Теоремата е доказана.
Нека сега разгледаме въпроса за изчисляване на площта на триъгълникпредвид това, че са известни трите му височини, И .
Теорема 2.Площта се изчислява по формулата
. (5)
Доказателство.Тъй като , и , тогава
В този случай от формула (1) получаваме
или
От това следва формула (5). Теоремата е доказана.
Изчисляване на площта на четириъгълниците
Нека разгледаме обобщение на формулата на Heron за случая на изчисляване на площта на четириъгълниците. Веднага обаче трябва да се отбележи, че такова обобщение е възможно само за четириъгълници, които са вписани в кръг.
Нека четириъгълникаима страни , , и .
Ако е четириъгълник, вписан в кръг, тогава Теорема 3 (формулата на Брахмагупта) е вярна.
Теорема 3.Квадрат изчислено по формулата
Къде .
Доказателство.Нека начертаем диагонал в четириъгълник и ще получим два триъгълника и . Ако приложим косинусовата теорема към тези триъгълници, което е еквивалентно на формула (3), тогава можем да напишем
Тъй като четириъгълникът е вписан в окръжност, сборът от срещуположните му ъгли е равен, т.е. .
Защото или тогава от (7) получаваме
или
. (8)
От тогава. Въпреки това и следователно
Тъй като , то от формули (8) и (9) следва
Ако поставите тогава от тук получаваме формула (6). Теоремата е доказана.
Ако цикличен четириъгълниксъщо е описано, тогава формула (6) е значително опростена.
Теорема 4.Площта на четириъгълник, вписан в един кръг и описан около друг, се изчислява по формулата
. (10)
Доказателство.Тъй като окръжност е вписана в четириъгълник, важат равенствата:
В този случай , , , и формула (6) лесно се преобразува във формула (10). Теоремата е доказана.
Нека да преминем към разглеждане на примери за геометрични задачи, чието решение се извършва въз основа на прилагането на доказани теореми.
Примери за решаване на проблеми
Пример 1. Намерете област, ако и .
Решение.Тъй като тук, то съгласно теорема 1 получаваме
Отговор: .
Забележка, ако страните на триъгълникприемат ирационални ценности, след това изчисляване на неговата площс помощта на формула (1)обикновено е неефективен. В този случай е препоръчително да се прилагат директно формули (2) и (3).
Пример 2.Намерете областта, ако , и .
Решение.Като вземем предвид формули (2) и (3), получаваме
Тъй като , тогава или .
Отговор: .
Пример 3.Намерете областта, ако , и .
Решение.тъй като,
тогава от теорема 2 следва, че .
Отговор: .
Пример 4.Триъгълник има страни и . Намерете и , Където са радиусите на описаната и вписана окръжност, съответно.
Решение.Първо, нека изчислим площта. Тъй като , то от формула (1) получаваме .
Известно е, че. Следователно и.
Пример 5.Намерете площта на четириъгълник, вписан в окръжност, ако , , и .
Решение.От примерните условия следва, че. Тогава, съгласно теорема 3, получаваме .
Пример 6.Намерете площта на четириъгълник, вписан в окръжност, чиито страни са , , и .
Решение.Тъй като и , равенството има в четириъгълника. Известно е обаче, че наличието на такова равенство е необходимо и достатъчно условие, за да може в даден четириъгълник да се впише окръжност. В тази връзка, за да изчислите площта, можете да използвате формула (10), от която следва.
За независима и висококачествена подготовка за приемни изпити в областта на решаването на училищни задачи по геометрия можете ефективно да използвате учебници, изброени в списъка с препоръчителна литература.
1. Готман Е.Г. Задачи по планиметрия и методи за решаването им. – М.: Образование, 1996. – 240 с.
2. Кулагин Е.Д. , Федин С.Н. Геометрия на триъгълник в задачи. – М.: CD “Либроком” / URSS, 2009. – 208 с.
3. Сборник задачи по математика за кандидати в колежи / Изд. M.I. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 с.
4. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. – 216 с.
Все още имате въпроси?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Предварителна информация
Първо, нека въведем информацията и обозначенията, които ще ни трябват по-късно.
Ще разгледаме триъгълник $ABC$ с остри ъгли $A$ и $C$. Нека начертаем височината $BH$ в него. Нека въведем следната нотация: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(фиг. 1).
Фигура 1.
Нека въведем без доказателство теоремата за площта на триъгълник.
Теорема 1
Площта на триъгълник се определя като половината от произведението на дължината на неговата страна и начертаната към нея височина, т.е.
Формулата на Херон
Нека въведем и докажем теорема за намиране на площта на триъгълник от три известни страни. Тази формула се нарича Формули на Херон.
Теорема 2
Нека са ни дадени три страни на триъгълник $a,\ b\ и\ c$. Тогава площта на този триъгълник се изразява по следния начин
където $p$ е полупериметърът на дадения триъгълник.
Доказателство.
Ще използваме нотацията, въведена на фигура 1.
Да разгледаме триъгълника $ABH$. Според Питагоровата теорема получаваме
Очевидно е, че $HC=AC-AH=b-x$
Помислете за триъгълника $\CBH$. Според Питагоровата теорема получаваме
\ \ \
Нека приравним стойностите на квадратната височина от двете получени съотношения
\ \ \
От първото равенство намираме височината
\ \ \ \ \ \
Тъй като полупериметърът е равен на $p=\frac(a+b+c)(2)$, тоест $a+b+c=2p$, тогава
\ \ \ \
По теорема 1 получаваме
Теоремата е доказана.
Примери за задачи, използващи формулата на Херон
Пример 1
Намерете лицето на триъгълник, ако страните му са $3$ cm, $6$ cm и $7$ cm.
Решение.
Нека първо намерим полупериметъра на този триъгълник
По теорема 2 получаваме
отговор:$4\sqrt(5)$.
