Нека продължим да изучаваме дроби. Днес ще говорим за тяхното сравнение. Темата е интересна и полезна. Това ще позволи на начинаещия да се почувства като учен в бяла престилка.
Същността на сравняването на дроби е да се установи коя от двете дроби е по-голяма или по-малка.
За да отговорите на въпроса коя от двете дроби е по-голяма или по-малка, използвайте повече (>) или по-малко (<).
Математиците вече са се погрижили за готови правила, които им позволяват незабавно да отговорят на въпроса коя фракция е по-голяма и коя е по-малка. Тези правила могат безопасно да се прилагат.
Ще разгледаме всички тези правила и ще се опитаме да разберем защо това се случва.
Съдържание на урокаСравняване на дроби с еднакви знаменатели
Фракциите, които трябва да се сравняват, са различни. Най-добрият случай е, когато дробите имат еднакви знаменатели, но различни числители. В този случай се прилага следното правило:
От две дроби с еднакъв знаменател дробта с по-голям числител е по-голяма. И съответно дробта с по-малък числител ще бъде по-малка.
Например, нека сравним дроби и да отговорим коя от тези дроби е по-голяма. Тук знаменателите са същите, но числителите са различни. Дробта има по-голям числител от дробта. Това означава, че фракцията е по-голяма от . Така отговаряме. Трябва да отговорите, като използвате иконата за още (>)
Този пример може лесно да бъде разбран, ако си спомним за пиците, които са разделени на четири части. Има повече пици от пици:
Сравняване на дроби с еднакви числители
Следващият случай, в който можем да влезем, е когато числителите на дробите са еднакви, но знаменателите са различни. За такива случаи е предвидено следното правило:
От две дроби с еднакви числители по-голяма е дробта с по-малък знаменател. И съответно дробта, чийто знаменател е по-голям, е по-малка.
Например, нека сравним дробите и . Тези дроби имат еднакви числители. Дробта има по-малък знаменател от дробта. Това означава, че дробта е по-голяма от дробта. Така че отговаряме:
Този пример може лесно да бъде разбран, ако си спомним за пиците, които са разделени на три и четири части. Има повече пици от пици:
Всеки ще се съгласи, че първата пица е по-голяма от втората.
Сравняване на дроби с различни числители и знаменатели
Често се случва да сравнявате дроби с различни числители и знаменатели.
Например, сравнете дроби и . За да отговорите на въпроса коя от тези дроби е по-голяма или по-малка, трябва да ги приведете към един и същи (общ) знаменател. Тогава можете лесно да определите коя дроб е по-голяма или по-малка.
Нека приведем дробите към един (общ) знаменател. Нека намерим LCM на знаменателите на двете дроби. LCM на знаменателите на дробите и това е числото 6.
Сега намираме допълнителни множители за всяка дроб. Нека разделим LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделяме 6 на 2, получаваме допълнителен коефициент 3. Записваме го над първата дроб:
Сега нека намерим втория допълнителен фактор. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 6, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 6 на 3, получаваме допълнителен коефициент 2. Записваме го над втората дроб:
Нека умножим дробите по техните допълнителни множители:
Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да сравняваме такива дроби. От две дроби с еднакъв знаменател дробта с по-голям числител е по-голяма:
Правилото си е правило и ще се опитаме да разберем защо е повече от . За да направите това, изберете цялата част във фракцията. Няма нужда да подчертавате нищо в дробта, тъй като дробта вече е правилна.
След като изолираме цялата част от дробта, получаваме следния израз:
Сега можете лесно да разберете защо повече от . Нека начертаем тези дроби като пици:
2 цели пици и пици, повече от пици.
Изваждане на смесени числа. Трудни случаи.
Когато изваждате смесени числа, понякога можете да откриете, че нещата не вървят толкова гладко, колкото бихте искали. Често се случва при решаване на пример отговорът да не е такъв, какъвто трябва да бъде.
Когато изваждате числа, умаляваното трябва да е по-голямо от изважданото. Само в този случай ще бъде получен нормален отговор.
Например 10−8=2
10 - намаляващ
8 - субтрахенд
2 - разлика
Умаляваното 10 е по-голямо от изместеното 8, така че получаваме нормалния отговор 2.
Сега да видим какво се случва, ако умаляваното е по-малко от изваждаемото. Пример 5−7=−2
5—намаляем
7 - субтрахенд
−2 — разлика
В този случай ние излизаме извън границите на числата, с които сме свикнали, и се озоваваме в света на отрицателните числа, където ни е рано да ходим и дори е опасно. За да работите с отрицателни числа, ви е необходим подходящ обучение по математика, които все още не сме получили.
Ако, когато решавате примери за изваждане, установите, че умаляваното е по-малко от изваждането, тогава можете да пропуснете този пример за сега. Допустимо е да се работи с отрицателни числа само след изучаването им.
Същото е положението и с дробите. Умаляваното трябва да е по-голямо от изваждаемото. Само в този случай ще бъде възможно да се получи нормален отговор. И за да разберете дали съкращаваната дроб е по-голяма от тази, която се изважда, трябва да можете да сравните тези дроби.
Например, нека решим примера.
Това е пример за изваждане. За да го решите, трябва да проверите дали съкращаваната дроб е по-голяма от тази, която се изважда. повече от
така че можем безопасно да се върнем към примера и да го решим:
Сега нека решим този пример
Проверяваме дали дробта, която се намалява, е по-голяма от дробта, която се изважда. Откриваме, че е по-малко:
В този случай е по-разумно да спрете и да не продължавате по-нататъшно изчисление. Нека се върнем към този пример, когато изучаваме отрицателни числа.
Също така е препоръчително да проверите смесените числа преди изваждане. Например, нека намерим стойността на израза.
Първо, нека проверим дали смесеното число, което се намалява, е по-голямо от смесеното число, което се изважда. За да направим това, преобразуваме смесени числа в неправилни дроби:
Получихме дроби с различни числители и знаменатели. За да сравните такива дроби, трябва да ги приведете към един и същи (общ) знаменател. Няма да описваме подробно как да направите това. Ако имате затруднения, не забравяйте да повторите.
След намаляване на дробите до един и същи знаменател, получаваме следния израз:
Сега трябва да сравните дробите и . Това са дроби с еднакви знаменатели. От две дроби с еднакъв знаменател дробта с по-голям числител е по-голяма.
Дробта има по-голям числител от дробта. Това означава, че дробта е по-голяма от дробта.
Това означава, че умаляваното е по-голямо от изваждаемото
Това означава, че можем да се върнем към нашия пример и безопасно да го решим:
Пример 3.Намерете стойността на израз
Нека проверим дали умаляваното е по-голямо от изваждаемото.
Нека преобразуваме смесени числа в неправилни дроби:
Получихме дроби с различни числители и знаменатели. Нека намалим тези дроби до един и същи (общ) знаменател:
Сега нека сравним дробите и . Дробта има числител, по-малък от дроб, което означава, че дробта е по-малка от дроб
Могат да се сравняват не само прости числа, но и дроби. В крайна сметка една дроб е същото число като например естествените числа. Трябва само да знаете правилата, по които се сравняват дроби.
Сравняване на дроби с еднакви знаменатели.
Ако две дроби имат еднакви знаменатели, тогава е лесно да се сравняват такива дроби.
За да сравните дроби с еднакви знаменатели, трябва да сравните техните числители. Дробта, която има по-голям числител, е по-голяма.
Да разгледаме един пример:
Сравнете дробите \(\frac(7)(26)\) и \(\frac(13)(26)\).
Знаменателите на двете дроби са еднакви и равни на 26, така че сравняваме числителите. Числото 13 е по-голямо от 7. Получаваме:
\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)
Сравняване на дроби с равни числители.
Ако една дроб има еднакви числители, тогава дробта с по-малък знаменател е по-голяма.
Това правило може да се разбере, като се даде пример от живота. Имаме торта. 5 или 11 гости могат да ни дойдат на гости. Ако дойдат 5 гости, тогава ще нарежем тортата на 5 равни парчета, а ако дойдат 11 гости, ще я разделим на 11 равни парчета. Сега помислете за ситуацията, в която един гост ще получи парче торта по-голям размер? Разбира се, когато дойдат 5 гости, ще има по-голямо парче торта.
Или друг пример. Имаме 20 бонбона. Можем да дадем бонбона поравно на 4 приятели или да разделим бонбона поравно между 10 приятели. В какъв случай всеки приятел ще има повече бонбони? Разбира се, когато споделяме само с 4 приятели, броят на бонбоните за всеки приятел ще бъде по-голям. Нека проверим този проблем математически.
\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)
Ако решим тези дроби преди това, ще получим числата \(\frac(20)(4) = 5\) и \(\frac(20)(10) = 2\). Получаваме, че 5 > 2
Това е правилото за сравняване на дроби с еднакви числители.
Нека да разгледаме друг пример.
Сравнете дроби с еднакъв числител \(\frac(1)(17)\) и \(\frac(1)(15)\) .
Тъй като числителите са еднакви, дробта с по-малък знаменател е по-голяма.
\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)
Сравняване на дроби с различни знаменатели и числители.
За да сравните дроби с различни знаменатели, трябва да намалите дробите до и след това да сравните числителите.
Сравнете дробите \(\frac(2)(3)\) и \(\frac(5)(7)\).
Първо, нека намерим общия знаменател на дробите. То ще бъде равно на числото 21.
\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \times 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(align)\)
След това преминаваме към сравняване на числители. Правило за сравняване на дроби с еднакви знаменатели.
\(\begin(align)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)
Сравнение.
Неправилната дроб винаги е по-голяма от правилната дроб.Защото неправилната дроб е по-голяма от 1, а правилната дроб е по-малка от 1.
Пример:
Сравнете дробите \(\frac(11)(13)\) и \(\frac(8)(7)\).
Дробта \(\frac(8)(7)\) е неправилна и е по-голяма от 1.
\(1 < \frac{8}{7}\)
Дробта \(\frac(11)(13)\) е правилна и е по-малка от 1. Нека сравним:
\(1 > \frac(11)(13)\)
Получаваме \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)
Въпроси по темата:
Как да сравняваме дроби с различни знаменатели?
Отговор: трябва да приведете дробите към общ знаменател и след това да сравните техните числители.
Как да сравняваме дроби?
Отговор: Първо трябва да решите към коя категория принадлежат дробите: имат общ знаменател, имат общ числител, нямат общ знаменател и числител или имате правилна и неправилна дроб. След като класифицирате дроби, приложете подходящото правило за сравнение.
Какво е сравняването на дроби с еднакви числители?
Отговор: Ако дробите имат еднакви числители, дробта с по-малък знаменател е по-голяма.
Пример #1:
Сравнете дробите \(\frac(11)(12)\) и \(\frac(13)(16)\).
Решение:
Тъй като няма еднакви числители или знаменатели, прилагаме правилото за сравнение с различни знаменатели. Трябва да намерим общ знаменател. Общият знаменател ще бъде 96. Нека сведем дробите до общ знаменател. Умножете първата дроб \(\frac(11)(12)\) с допълнителен коефициент 8 и умножете втората дроб \(\frac(13)(16)\) по 6.
\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(align)\)
Сравняваме дроби с числители, като дробта с по-голям числител е по-голяма.
\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\край (подравняване)\)
Пример #2:
Сравнете правилна дроб с единица?
Решение:
Всяка правилна дроб винаги е по-малка от 1.
Задача №1:
Синът и бащата играеха футбол. Синът удари целта 5 пъти от 10 подхода. И татко удари целта 3 пъти от 5 подхода. Чий резултат е по-добър?
Решение:
Синът удари 5 пъти от 10 възможни подхода. Нека го запишем като дроб \(\frac(5)(10)\).
Татко удари 3 пъти от 5 възможни подхода. Нека го запишем като дроб \(\frac(3)(5)\).
Нека сравним дробите. Имаме различни числители и знаменатели, нека ги сведем до един знаменател. Общият знаменател ще бъде 10.
\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)
Отговор: Татко има по-добър резултат.
Правилата за сравняване на обикновени дроби зависят от вида на дробта (правилна, неправилна, смесена дроб) и от знаменателите (еднакви или различни) на сравняваните дроби.
Този раздел обсъжда опции за сравняване на дроби, които имат еднакви числители или знаменатели.
правило. За да сравните две дроби с еднакви знаменатели, трябва да сравните техните числители. По-голямо (по-малко) е дроб, чийто числител е по-голям (по-малък).
Например, сравнете дроби:
правило. За да сравните правилните дроби с подобни числители, трябва да сравните техните знаменатели. По-голямо (по-малко) е дроб, чийто знаменател е по-малък (по-голям).
Например, сравнете дроби: 
Сравняване на правилни, неправилни и смесени дроби помежду си
правило. Неправилните и смесените дроби винаги са по-големи от всяка правилна дроб.
Правилната дроб по дефиниция е по-малка от 1, така че неправилните и смесените дроби (тези, които съдържат число, равно или по-голямо от 1) са по-големи от правилната дроб.
правило. От две смесени дроби по-голяма (по-малка) е тази, чиято цяла част от дробта е по-голяма (по-малка). Когато целите части на смесените дроби са равни, по-голяма (по-малка) е дробта с по-голямата (по-малката) дробна част.
Правилата за сравняване на обикновени дроби зависят от вида на дробта (правилна, неправилна, смесена дроб) и от знаменателите (еднакви или различни) на сравняваните дроби. правило. За да сравните две дроби с еднакви знаменатели, трябва да сравните техните числители. По-голямо (по-малко) е дроб, чийто числител е по-голям (по-малък). например, сравнете дроби:
Сравняване на правилни, неправилни и смесени дроби помежду си.
правило. Неправилните и смесените дроби винаги са по-големи от всяка правилна дроб. Правилната дроб по дефиниция е по-малка от 1, така че неправилните и смесените дроби (тези, които съдържат число, равно или по-голямо от 1) са по-големи от правилната дроб.
правило. От две смесени дроби по-голяма (по-малка) е тази, чиято цяла част от дробта е по-голяма (по-малка). Когато целите части на смесените дроби са равни, по-голяма (по-малка) е дробта с по-голямата (по-малката) дробна част.
например, сравнете дроби:
Подобно на сравняването на естествени числа на числовата ос, по-голямата дроб е вдясно от по-малката дроб.
IN ежедневиетоЧесто се налага да сравняваме дробни количества. Най-често това не създава никакви затруднения. Всъщност всеки разбира, че половин ябълка е по-голяма от четвърт. Но когато става въпрос за записването му като математически израз, може да стане объркващо. Използвайки следното математически правила, можете лесно да се справите с тази задача.
Как да сравняваме дроби с еднакви знаменатели
Такива дроби са най-удобни за сравнение. В този случай използвайте правилото:
От две дроби с еднакви знаменатели, но различни числители, по-голямата е тази, чийто числител е по-голям, а по-малката е тази, чийто числител е по-малък.
Например, сравнете дробите 3/8 и 5/8. Знаменателите в този пример са равни, така че прилагаме това правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.
Наистина, ако нарежете две пици на 8 филийки, тогава 3/8 от парчето винаги е по-малко от 5/8.
Сравняване на дроби с еднакви числители и различни знаменатели
В този случай се сравняват размерите на дяловете в знаменателя. Правилото, което трябва да се приложи е:
Ако две дроби имат еднакви числители, тогава дробта, чийто знаменател е по-малък, е по-голяма.
Например, сравнете дробите 3/4 и 3/8. В този пример числителите са равни, което означава, че използваме второто правило. Дробта 3/4 има по-малък знаменател от дробта 3/8. Следователно 3/4>3/8
Наистина, ако изядете 3 парчета пица, разделени на 4 части, ще бъдете по-сити, отколкото ако сте изяли 3 парчета пица, разделени на 8 части.
Сравняване на дроби с различни числители и знаменатели
Нека приложим третото правило:
Сравняването на дроби с различни знаменатели трябва да доведе до сравняване на дроби с еднакви знаменатели. За да направите това, трябва да намалите дробите до общ знаменател и да използвате първото правило.
Например, трябва да сравните дроби и . За да определим по-голямата дроб, свеждаме тези две дроби до общ знаменател:
- Сега нека намерим втория допълнителен фактор: 6:3=2. Записваме го над втората дроб:
