Capacité à penser mathématiquement – l'une des capacités les plus nobles de l'homme.
Dramaturge irlandais Bernard Shaw
La formule du héron
En mathématiques scolaires, la formule de Heron est très populaire, dont l'utilisation permet de calculer l'aire d'un triangle en fonction de ses trois côtés. Dans le même temps, peu d'étudiants savent qu'il existe une formule similaire pour calculer l'aire des quadrilatères inscrits dans un cercle. Cette formule s'appelle la formule de Brahmagupta. La formule de calcul de l’aire d’un triangle à partir de ses trois altitudes, dont la dérivation découle de la formule de Heron, est également peu connue.
Calculer l'aire des triangles
Laisser entrer un triangle côtés, et . Alors le théorème suivant (formule de Héron) est valide.
Théorème 1.
Où .
Preuve. Lors de la dérivation de la formule (1), nous utiliserons des géomes connus formules triques
, (2)
. (3)
A partir des formules (2) et (3) on obtient et . Depuis lors
. (4)
Si on note puis de l'égalité (4) découle la formule (1). Le théorème est prouvé.
Considérons maintenant la question du calcul de l'aire d'un triangleétant donné que, que ses trois hauteurs sont connues, Et .
Théorème 2. La superficie est calculée à l'aide de la formule
. (5)
Preuve. Depuis , et , alors
Dans ce cas, à partir de la formule (1) on obtient
ou
De là découle la formule (5). Le théorème est prouvé.
Calculer l'aire des quadrilatères
Considérons une généralisation de la formule de Heron au cas du calcul de l'aire des quadrilatères. Cependant, il convient de noter immédiatement qu'une telle généralisation n'est possible que pour les quadrilatères inscrits dans un cercle.
Soit le quadrilatère a des côtés , , et .
Si est un quadrilatère, inscrit dans un cercle, alors le théorème 3 (formule de Brahmagupta) est vrai.
Théorème 3. Carré calculé par la formule
Où .
Preuve. Traçons une diagonale dans un quadrilatère et obtenons deux triangles et . Si nous appliquons à ces triangles le théorème du cosinus, ce qui équivaut à la formule (3), alors nous pouvons écrire
Puisqu'un quadrilatère est inscrit dans un cercle, la somme de ses angles opposés est égale, c'est-à-dire .
Parce que ou alors de (7) on obtient
Ou
. (8)
Depuis lors. Cependant et donc
Puisque , alors des formules (8) et (9) il s'ensuit
Si tu mets puis à partir de là nous obtenons la formule (6). Le théorème est prouvé.
Si un quadrilatère cycliqueest également décrit, alors la formule (6) est considérablement simplifiée.
Théorème 4. L'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle et circonscrit autour d'un autre est calculée par la formule
. (10)
Preuve. Puisqu’un cercle est inscrit dans un quadrilatère, les égalités sont :
Dans ce cas, , , et la formule (6) est facilement convertie en formule (10). Le théorème est prouvé.
Passons à des exemples de problèmes de géométrie, dont la solution est réalisée sur la base de l'application de théorèmes éprouvés.
Exemples de résolution de problèmes
Exemple 1. Rechercher une zone, si , et .
Solution. Puisque ici, alors d'après le théorème 1 on obtient
Répondre: .
Note, si les côtés d'un triangleadopter des valeurs irrationnelles, puis calculer son aireen utilisant la formule (1) généralement est inefficace. Dans ce cas, il convient d'appliquer directement les formules (2) et (3).
Exemple 2. Trouvez la zone si , et .
Solution. En tenant compte des formules (2) et (3), on obtient
Depuis , alors ou .
Répondre: .
Exemple 3. Trouvez la zone si , et .
Solution. Depuis,
alors du théorème 2 il résulte que .
Répondre: .
Exemple 4. Un triangle a des côtés , et . Trouvez et , où sont respectivement les rayons des cercles circonscrits et inscrits.
Solution. Tout d’abord, calculons la superficie. Puisque , alors à partir de la formule (1) nous obtenons .
On le sait. Par conséquent et.
Exemple 5. Trouver l'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle si , , et .
Solution. D'après les exemples de conditions, il s'ensuit que . Alors, d’après le théorème 3, on obtient .
Exemple 6. Trouvez l'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle dont les côtés sont , et .
Solution. Puisque et , l’égalité est vraie dans le quadrilatère. Or, on sait que l'existence d'une telle égalité est une condition nécessaire et suffisante pour qu'un cercle puisse s'inscrire dans un quadrilatère donné. À cet égard, pour calculer la superficie, vous pouvez utiliser la formule (10), dont elle découle.
Pour une préparation indépendante et de haute qualité aux examens d'entrée dans le domaine de la résolution de problèmes de géométrie scolaire, vous pouvez utiliser efficacement les manuels, répertoriés dans la liste de la littérature recommandée.
1. Gotman E.G. Problèmes de planimétrie et méthodes pour les résoudre. – M. : Éducation, 1996. – 240 p.
2. Koulaguine E.D. , Fedin S.N. Géométrie d'un triangle dans les problèmes. – M. : CD « Librocom » / URSS, 2009. – 208 p.
3. Recueil de problèmes en mathématiques pour les candidats aux collèges / Ed. MI. Scanavi. – M. : Paix et Education, 2013. – 608 p.
4. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : sections supplémentaires du programme scolaire. – M. : Lénand / URSS, 2014. – 216 p.
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La formule du héron La formule du héron
exprime la zone s d'un triangle par la longueur de ses trois côtés UN, b Et Avec et semi-périmètre r = (UN + b + Avec)/2 : . Nommé d'après le Héron d'Alexandrie.
FORMULE HÉRONAFORMULE HERONA, exprime la zone S d'un triangle par la longueur de ses trois côtés un, b Et c et semi-périmètre P. = (un + b + c)/2
Nommé d'après le Héron d'Alexandrie.
Dictionnaire encyclopédique. 2009 .
Voyez ce qu'est la « formule de Héron » dans d'autres dictionnaires :
Exprime l'aire S d'un triangle à travers les longueurs de ses trois côtés a, b et c et le demi-périmètre P = (a + b + c)/2Nommé d'après Héron d'Alexandrie... Grand dictionnaire encyclopédique
Formule exprimant l'aire d'un triangle par ses trois côtés. À savoir, si a, b, C sont la longueur des côtés d'un triangle et S est son aire, alors G. f. a la forme : où p désigne le demi-périmètre du triangle G. f.... ...
Une formule exprimant l'aire d'un triangle à travers ses côtés a, b, c : où Nommé d'après Héron (vers 1er siècle après JC), A. B. Ivanov... Encyclopédie mathématique
Exprime l'aire 5 d'un triangle à travers les longueurs de ses trois côtés a, b et c et le demi-périmètre p = (a + b + c)/2 : s = carré. racine p(p a)(p b)(p c). Nommé d'après le Héron d'Alexandrie... Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique
- ... Wikipédia
Permet de calculer l'aire d'un triangle (S) en fonction de ses côtés a, b, c : où p est le demi-périmètre du triangle : . Preuve où l'angle est triangulaire... Wikipédia
Exprime l'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle en fonction de la longueur de ses côtés. Si un quadrilatère inscrit a des longueurs de côté et un demi-périmètre, alors son aire est ... Wikipédia
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- (Heronus Alexandrinus) (années de naissance et de décès inconnues, probablement 1er siècle), scientifique grec ancien qui travaillait à Alexandrie. Auteur d'ouvrages dans lesquels il expose systématiquement les principales réalisations du monde antique dans le domaine de la mécanique appliquée, V... ... Grande Encyclopédie Soviétique
Alexandrin (Heronus Alexandrinus) (années de naissance et de décès inconnues, probablement 1er siècle), scientifique grec ancien qui travaillait à Alexandrie. L'auteur d'ouvrages dans lesquels il expose systématiquement les principales réalisations du monde antique dans le domaine de... ... Grande Encyclopédie Soviétique
Cette formule permet de calculer l'aire d'un triangle en fonction de ses côtés a, b et c :
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),où p est le demi-périmètre du triangle, c'est-à-dire p = (une + b + c)/2.
La formule porte le nom de l'ancien mathématicien grec Héron d'Alexandrie (vers le 1er siècle). Heron considérait des triangles à côtés entiers dont les aires sont également des nombres entiers. De tels triangles sont appelés triangles héroniens. Par exemple, ce sont des triangles de côtés 13, 14, 15 ou 51, 52, 53.
Il existe des analogues de la formule de Heron pour les quadrilatères. Du fait que le problème de la construction d'un quadrilatère le long de ses côtés a, b, c et d a plus d'une solution, pour calculer l'aire d'un quadrilatère dans le cas général, il ne suffit pas de connaître les longueurs des côtés. Vous devez saisir des paramètres supplémentaires ou imposer des restrictions. Par exemple, l'aire d'un quadrilatère inscrit est trouvée par la formule : S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)
Si un quadrilatère est à la fois inscrit et circonscrit, son aire est en utilisant une formule plus simple : S=√(abcd).
Héron d'Alexandrie - Mathématicien et mécanicien grec.
Il fut le premier à inventer des portes automatiques, un théâtre de marionnettes automatique, un distributeur automatique, une arbalète à chargement automatique à tir rapide, une turbine à vapeur, des décorations automatiques, un appareil pour mesurer la longueur des routes (un compteur kilométrique ancien), etc. Il fut le premier à créer des appareils programmables (un arbre avec des broches entourées d'une corde).
Il a étudié la géométrie, la mécanique, l'hydrostatique et l'optique. Principaux ouvrages : Métrique, Pneumatique, Automatopoétique, Mécanique (l'ouvrage est entièrement conservé en traduction arabe), Catoptrique (la science des miroirs ; conservé uniquement en traduction latine), etc. En 1814, l'essai de Héron « Sur la dioptrie » a été trouvé, qui énonce les règles d'arpentage, basées en réalité sur l'utilisation de coordonnées rectangulaires. Héron a utilisé les réalisations de ses prédécesseurs : Euclide, Archimède, Straton de Lampsaque. Beaucoup de ses livres sont irrémédiablement perdus (les rouleaux étaient conservés à la Bibliothèque d'Alexandrie).
Dans son traité « Mécanique », Heron a décrit cinq types de machines simples : le levier, la porte, la cale, la vis et le bloc.
Dans son traité « Pneumatique », Heron décrit divers siphons, récipients intelligemment conçus et automates actionnés par de l'air comprimé ou de la vapeur. Il s'agit d'une éolipile, qui fut la première turbine à vapeur - une boule mise en rotation par la force de jets de vapeur d'eau ; une machine à ouvrir les portes, une machine à vendre de l'eau « bénite », une pompe à incendie, un orgue à eau, un théâtre de marionnettes mécanique.
Le livre « À propos de la dioptrie » décrit la dioptrie - l'appareil le plus simple utilisé pour les travaux géodésiques. Héron expose dans son traité les règles de l'arpentage, basées sur l'utilisation de coordonnées rectangulaires.
En catoptrie, Heron justifie la rectitude des rayons lumineux avec une vitesse de propagation infiniment élevée. Heron considère différents types de miroirs, en accordant une attention particulière aux miroirs cylindriques.
Les « Métriques » de Heron et les « Géométries » et « Stéréométries » qui en sont extraites sont des ouvrages de référence sur les mathématiques appliquées. Parmi les informations contenues dans Metrica :
Formules pour les aires de polygones réguliers.
Volumes de polyèdres réguliers, pyramide, cône, tronc de cône, tore, segment sphérique.
Formule de Héron pour calculer l'aire d'un triangle à partir des longueurs de ses côtés (découverte par Archimède).
Règles de solution numérique des équations quadratiques.
Algorithmes d'extraction de racines carrées et cubiques.
Le livre de Heron "Définitions" est une vaste collection de définitions géométriques, coïncidant pour la plupart avec les définitions des "Éléments" d'Euclide.
Capacité à penser mathématiquement – l'une des capacités les plus nobles de l'homme.
Dramaturge irlandais Bernard Shaw
La formule du héron
En mathématiques scolaires, la formule de Heron est très populaire, dont l'utilisation permet de calculer l'aire d'un triangle en fonction de ses trois côtés. Dans le même temps, peu d'étudiants savent qu'il existe une formule similaire pour calculer l'aire des quadrilatères inscrits dans un cercle. Cette formule s'appelle la formule de Brahmagupta. La formule de calcul de l’aire d’un triangle à partir de ses trois altitudes, dont la dérivation découle de la formule de Heron, est également peu connue.
Calculer l'aire des triangles
Laisser entrer un triangle côtés, et . Alors le théorème suivant (formule de Héron) est valide.
Théorème 1.
Où .
Preuve. Lors de la dérivation de la formule (1), nous utiliserons des géomes connus formules triques
, (2)
. (3)
A partir des formules (2) et (3) on obtient et . Depuis lors
. (4)
Si on note puis de l'égalité (4) découle la formule (1). Le théorème est prouvé.
Considérons maintenant la question du calcul de l'aire d'un triangleétant donné que, que ses trois hauteurs sont connues, Et .
Théorème 2. La superficie est calculée à l'aide de la formule
. (5)
Preuve. Depuis , et , alors
Dans ce cas, à partir de la formule (1) on obtient
ou
De là découle la formule (5). Le théorème est prouvé.
Calculer l'aire des quadrilatères
Considérons une généralisation de la formule de Heron au cas du calcul de l'aire des quadrilatères. Cependant, il convient de noter immédiatement qu'une telle généralisation n'est possible que pour les quadrilatères inscrits dans un cercle.
Soit le quadrilatère a des côtés , , et .
Si est un quadrilatère, inscrit dans un cercle, alors le théorème 3 (formule de Brahmagupta) est vrai.
Théorème 3. Carré calculé par la formule
Où .
Preuve. Traçons une diagonale dans un quadrilatère et obtenons deux triangles et . Si nous appliquons à ces triangles le théorème du cosinus, ce qui équivaut à la formule (3), alors nous pouvons écrire
Puisqu'un quadrilatère est inscrit dans un cercle, la somme de ses angles opposés est égale, c'est-à-dire .
Parce que ou alors de (7) on obtient
Ou
. (8)
Depuis lors. Cependant et donc
Puisque , alors des formules (8) et (9) il s'ensuit
Si tu mets puis à partir de là nous obtenons la formule (6). Le théorème est prouvé.
Si un quadrilatère cycliqueest également décrit, alors la formule (6) est considérablement simplifiée.
Théorème 4. L'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle et circonscrit autour d'un autre est calculée par la formule
. (10)
Preuve. Puisqu’un cercle est inscrit dans un quadrilatère, les égalités sont :
Dans ce cas, , , et la formule (6) est facilement convertie en formule (10). Le théorème est prouvé.
Passons à des exemples de problèmes de géométrie, dont la solution est réalisée sur la base de l'application de théorèmes éprouvés.
Exemples de résolution de problèmes
Exemple 1. Rechercher une zone, si , et .
Solution. Puisque ici, alors d'après le théorème 1 on obtient
Répondre: .
Note, si les côtés d'un triangleadopter des valeurs irrationnelles, puis calculer son aireen utilisant la formule (1) généralement est inefficace. Dans ce cas, il convient d'appliquer directement les formules (2) et (3).
Exemple 2. Trouvez la zone si , et .
Solution. En tenant compte des formules (2) et (3), on obtient
Depuis , alors ou .
Répondre: .
Exemple 3. Trouvez la zone si , et .
Solution. Depuis,
alors du théorème 2 il résulte que .
Répondre: .
Exemple 4. Un triangle a des côtés , et . Trouvez et , où sont respectivement les rayons des cercles circonscrits et inscrits.
Solution. Tout d’abord, calculons la superficie. Puisque , alors à partir de la formule (1) nous obtenons .
On le sait. Par conséquent et.
Exemple 5. Trouver l'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle si , , et .
Solution. D'après les exemples de conditions, il s'ensuit que . Alors, d’après le théorème 3, on obtient .
Exemple 6. Trouvez l'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle dont les côtés sont , et .
Solution. Puisque et , l’égalité est vraie dans le quadrilatère. Or, on sait que l'existence d'une telle égalité est une condition nécessaire et suffisante pour qu'un cercle puisse s'inscrire dans un quadrilatère donné. À cet égard, pour calculer la superficie, vous pouvez utiliser la formule (10), dont elle découle.
Pour une préparation indépendante et de haute qualité aux examens d'entrée dans le domaine de la résolution de problèmes de géométrie scolaire, vous pouvez utiliser efficacement les manuels, répertoriés dans la liste de la littérature recommandée.
1. Gotman E.G. Problèmes de planimétrie et méthodes pour les résoudre. – M. : Éducation, 1996. – 240 p.
2. Koulaguine E.D. , Fedin S.N. Géométrie d'un triangle dans les problèmes. – M. : CD « Librocom » / URSS, 2009. – 208 p.
3. Recueil de problèmes en mathématiques pour les candidats aux collèges / Ed. MI. Scanavi. – M. : Paix et Education, 2013. – 608 p.
4. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : sections supplémentaires du programme scolaire. – M. : Lénand / URSS, 2014. – 216 p.
Vous avez encore des questions ?
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Informations préliminaires
Tout d’abord, introduisons les informations et la notation dont nous aurons besoin plus tard.
Nous considérerons un triangle $ABC$ avec des angles aigus $A$ et $C$. Dessinons-y la hauteur $BH$. Introduisons la notation suivante : $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(Fig. 1).
Graphique 1.
Introduisons, sans preuve, le théorème sur l'aire d'un triangle.
Théorème 1
L'aire d'un triangle est définie comme la moitié du produit de la longueur de son côté et de la hauteur qui lui est tracée, c'est-à-dire
La formule du héron
Introduisons et démontrons un théorème sur la recherche de l'aire d'un triangle à partir de trois côtés connus. Cette formule s'appelle Les formules du Héron.
Théorème 2
Donnons-nous trois côtés d'un triangle $a,\ b\ et\ c$. Alors l'aire de ce triangle s'exprime comme suit
où $p$ est le demi-périmètre du triangle donné.
Preuve.
Nous utiliserons la notation introduite dans la figure 1.
Considérons le triangle $ABH$. D'après le théorème de Pythagore, on obtient
Il est évident que $HC=AC-AH=b-x$
Considérons le triangle $\CBH$. D'après le théorème de Pythagore, on obtient
\ \ \
Égalons les valeurs de la hauteur au carré à partir des deux rapports obtenus
\ \ \
A partir de la première égalité on trouve la hauteur
\ \ \ \ \ \
Puisque le demi-périmètre est égal à $p=\frac(a+b+c)(2)$, c'est-à-dire $a+b+c=2p$, alors
\ \ \ \
D'après le théorème 1, on obtient
Le théorème est prouvé.
Exemples de problèmes utilisant la formule de Heron
Exemple 1
Trouvez l'aire d'un triangle si ses côtés mesurent 3$ cm, 6$ cm et 7$ cm.
Solution.
Trouvons d'abord le demi-périmètre de ce triangle
D'après le théorème 2, on obtient
Répondre:$4\sqrt(5)$.
