Continuons à étudier les fractions. Aujourd'hui, nous allons parler de leur comparaison. Le sujet est intéressant et utile. Il permettra à un débutant de se sentir comme un scientifique en blouse blanche.
L’essence de la comparaison de fractions est de savoir laquelle des deux fractions est supérieure ou inférieure.
Pour répondre à la question laquelle des deux fractions est supérieure ou inférieure, utilisez comme plus (>) ou moins (<).
Les mathématiciens ont déjà élaboré des règles toutes faites qui leur permettent de répondre immédiatement à la question de savoir quelle fraction est la plus grande et laquelle est la plus petite. Ces règles peuvent être appliquées en toute sécurité.
Nous examinerons toutes ces règles et essaierons de comprendre pourquoi cela se produit.
Contenu de la leçonComparer des fractions avec les mêmes dénominateurs
Les fractions qui doivent être comparées sont différentes. Le meilleur des cas est celui où les fractions ont les mêmes dénominateurs, mais des numérateurs différents. Dans ce cas, la règle suivante s'applique :
De deux fractions ayant le même dénominateur, la fraction ayant le plus grand numérateur est la plus grande. Et par conséquent, la fraction avec le plus petit numérateur sera plus petite.
Par exemple, comparons des fractions et répondons laquelle de ces fractions est la plus grande. Ici, les dénominateurs sont les mêmes, mais les numérateurs sont différents. La fraction a un numérateur plus grand que la fraction. Cela signifie que la fraction est supérieure à . C'est ainsi que nous répondons. Vous devez répondre en utilisant l'icône plus (>)
Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense aux pizzas, qui sont divisées en quatre parties. Il y a plus de pizzas que de pizzas :
Comparer des fractions avec les mêmes numérateurs
Le cas suivant que nous pouvons aborder est celui où les numérateurs des fractions sont les mêmes, mais les dénominateurs sont différents. Pour de tels cas, la règle suivante est prévue :
De deux fractions ayant les mêmes numérateurs, la fraction ayant le plus petit dénominateur est la plus grande. Et par conséquent, la fraction dont le dénominateur est le plus grand est la plus petite.
Par exemple, comparons les fractions et . Ces fractions ont les mêmes numérateurs. Une fraction a un dénominateur plus petit qu’une fraction. Cela signifie que la fraction est supérieure à la fraction. Nous répondons donc :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense aux pizzas, qui sont divisées en trois et quatre parties. Il y a plus de pizzas que de pizzas :
Tout le monde conviendra que la première pizza est plus grosse que la seconde.
Comparer des fractions avec différents numérateurs et différents dénominateurs
Il arrive souvent de devoir comparer des fractions avec des numérateurs et des dénominateurs différents.
Par exemple, comparez des fractions et . Pour répondre à la question laquelle de ces fractions est supérieure ou inférieure, vous devez les ramener au même dénominateur (commun). Ensuite, vous pouvez facilement déterminer quelle fraction est supérieure ou inférieure.
Ramenons les fractions au même dénominateur (commun). Trouvons le LCM des dénominateurs des deux fractions. LCM des dénominateurs des fractions et c'est le nombre 6.
Nous trouvons maintenant des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Divisons le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 6, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons un facteur supplémentaire de 3. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :
Trouvons maintenant le deuxième facteur supplémentaire. Divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 6, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons un facteur supplémentaire de 2. Nous l'écrivons au-dessus de la deuxième fraction :
Multiplions les fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment comparer de telles fractions. De deux fractions ayant le même dénominateur, la fraction ayant le plus grand numérateur est la plus grande :
La règle est la règle, et nous allons essayer de comprendre pourquoi elle est supérieure à . Pour ce faire, sélectionnez la partie entière dans la fraction. Il n’est pas nécessaire de mettre en évidence quoi que ce soit dans la fraction, puisque la fraction est déjà propre.
Après avoir isolé la partie entière de la fraction, on obtient l'expression suivante :
Maintenant, vous pouvez facilement comprendre pourquoi plus de . Dessinons ces fractions sous forme de pizzas :
2 pizzas entières et pizzas, plus que des pizzas.
Soustraction de nombres mixtes. Cas difficiles.
Lorsque vous soustrayez des nombres fractionnaires, vous pouvez parfois constater que les choses ne se passent pas aussi bien que vous le souhaiteriez. Il arrive souvent que lors de la résolution d’un exemple, la réponse ne soit pas celle qu’elle devrait être.
Lors de la soustraction de nombres, la fin de la minute doit être supérieure à la fin de la soustraction. Ce n'est que dans ce cas qu'une réponse normale sera reçue.
Par exemple, 10−8=2
10 - décrémentable
8 - soustraire
2 - différence
La fin inférieure 10 est supérieure à la fin inférieure 8, nous obtenons donc la réponse normale 2.
Voyons maintenant ce qui se passe si la fin du minuend est inférieure au sous-trahend. Exemple 5−7=−2
5—réductible
7 - soustraire
−2 — différence
Dans ce cas, nous dépassons les limites des nombres auxquels nous sommes habitués et nous nous retrouvons dans le monde des nombres négatifs, où il est trop tôt pour marcher, voire dangereux. Pour travailler avec des nombres négatifs, vous avez besoin d'un formation en mathématiques, que nous n'avons pas encore reçu.
Si, lors de la résolution d'exemples de soustraction, vous constatez que la fin de la soustraction est inférieure à la fin de la soustraction, vous pouvez ignorer un tel exemple pour l'instant. Il est permis de travailler avec des nombres négatifs seulement après les avoir étudiés.
La situation est la même avec les fractions. Le minuend doit être supérieur au soustrahend. Ce n'est que dans ce cas qu'il sera possible d'obtenir une réponse normale. Et pour comprendre si la fraction réduite est supérieure à la fraction soustraite, vous devez être capable de comparer ces fractions.
Par exemple, résolvons l'exemple.
Ceci est un exemple de soustraction. Pour le résoudre, vous devez vérifier si la fraction réduite est supérieure à la fraction soustraite. plus que
nous pouvons donc revenir en toute sécurité à l'exemple et le résoudre :
Maintenant, résolvons cet exemple
Nous vérifions si la fraction à réduire est supérieure à la fraction à soustraire. On constate que c'est moins :
Dans ce cas, il est plus sage d’arrêter et de ne pas poursuivre les calculs. Revenons à cet exemple lorsque nous étudions les nombres négatifs.
Il est également conseillé de vérifier les nombres fractionnaires avant la soustraction. Par exemple, trouvons la valeur de l'expression .
Tout d’abord, vérifions si le nombre mixte extrait est supérieur au nombre mixte soustrait. Pour ce faire, nous convertissons les nombres fractionnaires en fractions impropres :
Nous avons reçu des fractions avec des numérateurs et des dénominateurs différents. Pour comparer de telles fractions, vous devez les ramener au même dénominateur (commun). Nous ne décrirons pas en détail comment procéder. Si vous rencontrez des difficultés, assurez-vous de répéter.
Après avoir réduit les fractions au même dénominateur, on obtient l'expression suivante :
Vous devez maintenant comparer les fractions et . Ce sont des fractions ayant les mêmes dénominateurs. De deux fractions ayant le même dénominateur, la fraction ayant le plus grand numérateur est la plus grande.
La fraction a un numérateur plus grand que la fraction. Cela signifie que la fraction est supérieure à la fraction.
Cela signifie que le minuend est supérieur au soustrahend
Cela signifie que nous pouvons revenir à notre exemple et le résoudre en toute sécurité :
Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression
Vérifions si le minuend est supérieur au soustrahend.
Convertissons les nombres fractionnaires en fractions impropres :
Nous avons reçu des fractions avec des numérateurs et des dénominateurs différents. Réduisons ces fractions au même dénominateur (commun) :
Comparons maintenant les fractions et . Une fraction a un numérateur inférieur à une fraction, ce qui signifie que la fraction est inférieure à une fraction
Non seulement les nombres premiers peuvent être comparés, mais aussi les fractions. Après tout, une fraction est le même nombre que, par exemple, les nombres naturels. Il vous suffit de connaître les règles selon lesquelles les fractions sont comparées.
Comparer des fractions avec les mêmes dénominateurs.
Si deux fractions ont les mêmes dénominateurs, il est alors facile de comparer ces fractions.
Pour comparer des fractions ayant les mêmes dénominateurs, vous devez comparer leurs numérateurs. La fraction qui a un numérateur plus grand est plus grande.
Regardons un exemple :
Comparez les fractions \(\frac(7)(26)\) et \(\frac(13)(26)\).
Les dénominateurs des deux fractions sont identiques et égaux à 26, on compare donc les numérateurs. Le nombre 13 est supérieur à 7. On obtient :
\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)
Comparer des fractions avec des numérateurs égaux.
Si une fraction a les mêmes numérateurs, alors la fraction avec le plus petit dénominateur est la plus grande.
Cette règle peut être comprise en donnant un exemple tiré de la vie. Nous avons du gâteau. 5 ou 11 invités peuvent venir nous rendre visite. Si 5 invités viennent, alors nous couperons le gâteau en 5 morceaux égaux, et si 11 invités viennent, alors nous le diviserons en 11 morceaux égaux. Pensez maintenant à la situation dans laquelle un invité aura une part de gâteau taille plus grande? Bien sûr, lorsque 5 invités arriveront, la part du gâteau sera plus grande.
Ou un autre exemple. Nous avons 20 bonbons. Nous pouvons donner les bonbons à parts égales à 4 amis ou diviser les bonbons à parts égales entre 10 amis. Dans quel cas chaque ami aura-t-il plus de bonbons ? Bien sûr, lorsque nous répartissons entre 4 amis seulement, le nombre de bonbons pour chaque ami sera plus grand. Vérifions ce problème mathématiquement.
\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)
Si nous résolvons ces fractions auparavant, nous obtenons les nombres \(\frac(20)(4) = 5\) et \(\frac(20)(10) = 2\). On obtient ça 5 > 2
C'est la règle pour comparer des fractions avec les mêmes numérateurs.
Regardons un autre exemple.
Comparez les fractions avec le même numérateur \(\frac(1)(17)\) et \(\frac(1)(15)\) .
Puisque les numérateurs sont les mêmes, la fraction avec le plus petit dénominateur est plus grande.
\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)
Comparer des fractions avec différents dénominateurs et numérateurs.
Pour comparer des fractions avec des dénominateurs différents, vous devez réduire les fractions à , puis comparer les numérateurs.
Comparez les fractions \(\frac(2)(3)\) et \(\frac(5)(7)\).
Tout d’abord, trouvons le dénominateur commun des fractions. Ce sera égal au nombre 21.
\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \times 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(align)\)
Ensuite, nous passons à la comparaison des numérateurs. Règle pour comparer des fractions avec les mêmes dénominateurs.
\(\begin(align)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)
Comparaison.
Une fraction impropre est toujours plus grande qu’une fraction propre. Parce qu'une fraction impropre est supérieure à 1 et une fraction propre est inférieure à 1.
Exemple:
Comparez les fractions \(\frac(11)(13)\) et \(\frac(8)(7)\).
La fraction \(\frac(8)(7)\) est impropre et est supérieure à 1.
\(1 < \frac{8}{7}\)
La fraction \(\frac(11)(13)\) est correcte et elle est inférieure à 1. Comparons :
\(1 > \frac(11)(13)\)
On obtient, \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)
Questions connexes :
Comment comparer des fractions avec des dénominateurs différents ?
Réponse : vous devez ramener les fractions à un dénominateur commun puis comparer leurs numérateurs.
Comment comparer des fractions ?
Réponse : Vous devez d'abord décider à quelle catégorie appartiennent les fractions : elles ont un dénominateur commun, elles ont un numérateur commun, elles n'ont pas de dénominateur et de numérateur communs, ou vous avez une fraction propre et impropre. Après avoir classé les fractions, appliquez la règle de comparaison appropriée.
Qu’est-ce que comparer des fractions avec les mêmes numérateurs ?
Réponse : Si les fractions ont les mêmes numérateurs, la fraction avec le plus petit dénominateur est la plus grande.
Exemple n°1 :
Comparez les fractions \(\frac(11)(12)\) et \(\frac(13)(16)\).
Solution:
Puisqu’il n’existe pas de numérateurs ou de dénominateurs identiques, nous appliquons la règle de comparaison avec des dénominateurs différents. Nous devons trouver un dénominateur commun. Le dénominateur commun sera 96. Ramenons les fractions à un dénominateur commun. Multipliez la première fraction \(\frac(11)(12)\) par un facteur supplémentaire de 8 et multipliez la deuxième fraction \(\frac(13)(16)\) par 6.
\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(align)\)
Nous comparons les fractions avec des numérateurs, la fraction avec le plus grand numérateur est plus grande.
\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\fin (aligner)\)
Exemple n°2 :
Comparer une fraction propre à une ?
Solution:
Toute fraction propre est toujours inférieure à 1.
Tâche n°1 :
Le fils et le père jouaient au football. Le fils a touché le but 5 fois sur 10 approches. Et papa a touché le but 3 fois sur 5 approches. Quel résultat est le meilleur ?
Solution:
Le fils a frappé 5 fois sur 10 approches possibles. Écrivons-le sous forme de fraction \(\frac(5)(10)\).
Papa a frappé 3 fois sur 5 approches possibles. Écrivons-le sous forme de fraction \(\frac(3)(5)\).
Comparons les fractions. Nous avons différents numérateurs et dénominateurs, réduisons-les à un seul dénominateur. Le dénominateur commun sera 10.
\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)
Réponse : Papa a un meilleur résultat.
Les règles de comparaison des fractions ordinaires dépendent du type de fraction (fraction propre, impropre, mixte) et des dénominateurs (identiques ou différents) des fractions comparées.
Cette section traite des options permettant de comparer des fractions qui ont les mêmes numérateurs ou dénominateurs.
Règle. Pour comparer deux fractions ayant les mêmes dénominateurs, vous devez comparer leurs numérateurs. Plus grand (moins) est une fraction dont le numérateur est plus grand (moins).
Par exemple, comparez des fractions :
Règle. Pour comparer des fractions propres avec des numérateurs similaires, vous devez comparer leurs dénominateurs. Plus grand (moins) est une fraction dont le dénominateur est inférieur (plus grand).
Par exemple, comparez des fractions : 
Comparer des fractions propres, impropres et mixtes entre elles
Règle. Les fractions impropres et mixtes sont toujours plus grandes que n’importe quelle fraction propre.
Une fraction propre est par définition inférieure à 1, donc les fractions impropres et mixtes (celles contenant un nombre égal ou supérieur à 1) sont supérieures à une fraction propre.
Règle. De deux fractions mixtes, celle dont toute la partie de la fraction est la plus grande (la plus petite) est la plus grande (la plus petite). Lorsque les parties entières des fractions mixtes sont égales, la fraction avec la partie fractionnaire la plus grande (la plus petite) est la plus grande (la plus petite).
Les règles de comparaison des fractions ordinaires dépendent du type de fraction (fraction propre, impropre, mixte) et des dénominateurs (identiques ou différents) des fractions comparées. Règle. Pour comparer deux fractions ayant les mêmes dénominateurs, vous devez comparer leurs numérateurs. Plus grand (moins) est une fraction dont le numérateur est plus grand (moins). Par exemple, comparez les fractions :
Comparer des fractions propres, impropres et mixtes entre elles.
Règle. Les fractions impropres et mixtes sont toujours plus grandes que n’importe quelle fraction propre. Une fraction propre est par définition inférieure à 1, donc les fractions impropres et mixtes (celles contenant un nombre égal ou supérieur à 1) sont supérieures à une fraction propre.
Règle. De deux fractions mixtes, celle dont toute la partie de la fraction est la plus grande (la plus petite) est la plus grande (la plus petite). Lorsque les parties entières des fractions mixtes sont égales, la fraction avec la partie fractionnaire la plus grande (la plus petite) est la plus grande (la plus petite).
Par exemple, comparez les fractions :
Semblable à la comparaison des nombres naturels sur la droite numérique, la plus grande fraction se trouve à droite de la plus petite fraction.
DANS la vie quotidienne Nous devons souvent comparer des quantités fractionnaires. Le plus souvent, cela ne pose aucune difficulté. En effet, tout le monde comprend qu’une demi-pomme est plus grosse qu’un quart. Mais lorsqu’il s’agit de l’écrire sous forme d’expression mathématique, cela peut prêter à confusion. En utilisant ce qui suit règles mathématiques, vous pouvez facilement faire face à cette tâche.
Comment comparer des fractions avec les mêmes dénominateurs
Ces fractions sont plus pratiques à comparer. Dans ce cas, utilisez la règle :
De deux fractions ayant les mêmes dénominateurs mais des numérateurs différents, la plus grande est celle dont le numérateur est le plus grand, et la plus petite est celle dont le numérateur est le plus petit.
Par exemple, comparez les fractions 3/8 et 5/8. Les dénominateurs dans cet exemple sont égaux, nous appliquons donc cette règle. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.
En effet, si vous coupez deux pizzas en 8 tranches, alors 3/8 de tranche fait toujours moins de 5/8.
Comparer des fractions avec des numérateurs similaires et des dénominateurs différents
Dans ce cas, les tailles des parts du dénominateur sont comparées. La règle à appliquer est la suivante :
Si deux fractions ont des numérateurs égaux, alors la fraction dont le dénominateur est le plus petit est la plus grande.
Par exemple, comparez les fractions 3/4 et 3/8. Dans cet exemple, les numérateurs sont égaux, ce qui signifie que nous utilisons la deuxième règle. La fraction 3/4 a un dénominateur plus petit que la fraction 3/8. Donc 3/4>3/8
En effet, si vous mangez 3 parts de pizza divisées en 4 parts, vous serez plus rassasié que si vous mangiez 3 parts de pizza divisées en 8 parts.
Comparer des fractions avec différents numérateurs et dénominateurs
Appliquons la troisième règle :
Comparer des fractions avec des dénominateurs différents devrait conduire à comparer des fractions avec les mêmes dénominateurs. Pour ce faire, vous devez réduire les fractions à un dénominateur commun et utiliser la première règle.
Par exemple, vous devez comparer des fractions et . Pour déterminer la plus grande fraction, on réduit ces deux fractions à un dénominateur commun :
- Trouvons maintenant le deuxième facteur supplémentaire : 6:3=2. On l'écrit au-dessus de la deuxième fraction :
