Sposobnost matematičnega razmišljanja – ena najplemenitejših človekovih sposobnosti.
Irski dramatik Bernard Shaw
Heronova formula
V šolski matematiki je Heronova formula zelo priljubljena, katere uporaba vam omogoča izračun površine trikotnika na podlagi njegovih treh strani. Hkrati malo študentov ve, da obstaja podobna formula za izračun površine štirikotnikov, vpisanih v krog. Ta formula se imenuje Brahmaguptina formula. Malo znana je tudi formula za izračun ploščine trikotnika iz njegovih treh višin, katere izpeljava izhaja iz Heronove formule.
Izračun površine trikotnikov
Spustite v trikotnik strani, in . Potem velja naslednji izrek (Heronova formula).
1. izrek.
kje .
Dokaz. Pri izpeljavi formule (1) bomo uporabili znane geome trične formule
, (2)
. (3)
Iz formul (2) in (3) dobimo in . Od takrat
. (4)
Če označimo potem iz enakosti (4) sledi formula (1). Izrek je dokazan.
Razmislimo zdaj o vprašanju izračuna površine trikotnika glede na to, da so znane njegove tri višine, In .
Izrek 2. Površina se izračuna po formuli
. (5)
Dokaz. Od , in , potem
V tem primeru iz formule (1) dobimo
oz
Iz tega sledi formula (5). Izrek je dokazan.
Izračun površine štirikotnikov
Razmislimo o posplošitvi Heronove formule na primer izračuna površine štirikotnikov. Vendar je treba takoj opozoriti, da je takšna posplošitev možna le za štirikotnike, ki so vpisani v krog.
Naj štirikotnik ima stranice , , in .
če je štirikotnik, vpisan v krog, potem je izrek 3 (Brahmaguptina formula) resničen.
Izrek 3. kvadrat izračunano po formuli
kje .
Dokaz.Štirikotniku narišimo diagonalo in dobimo dva trikotnika in . Če za te trikotnike uporabimo kosinusni izrek, ki je enakovreden formuli (3), potem lahko zapišemo
Ker je štirikotnik vpisan v krog, je vsota njegovih nasprotnih kotov enaka, tj. .
Ker oz potem iz (7) dobimo
oz
. (8)
Od takrat. Vendar in zato
Ker , potem iz formul (8) in (9) sledi
Če postavite potem od tu dobimo formulo (6). Izrek je dokazan.
Če je cikličen štirikotnikje tudi opisano, potem je formula (6) bistveno poenostavljena.
Izrek 4. Ploščino štirikotnika, včrtanega v en krog in obkroženega okrog drugega, izračunamo po formuli
. (10)
Dokaz. Ker je štirikotniku vpisan krog, veljajo enakosti:
V tem primeru , , , in formulo (6) zlahka pretvorimo v formulo (10). Izrek je dokazan.
Preidimo na primere geometrijskih problemov, katerega rešitev je izvedena na podlagi uporabe dokazanih izrekov.
Primeri reševanja problemov
Primer 1. Najdi območje, če , in .
rešitev. Ker tukaj, potem po izreku 1 dobimo
Odgovor: .
Opomba, če so stranice trikotnikaprevzamejo iracionalne vrednote, nato pa izračunamo njeno površinoz uporabo formule (1) ponavadi je neučinkovito. V tem primeru je priporočljivo neposredno uporabiti formuli (2) in (3).
Primer 2. Poiščite območje, če , In .
rešitev. Ob upoštevanju formul (2) in (3) dobimo
Od , torej oz.
Odgovor: .
Primer 3. Poiščite območje, če , In .
rešitev. ker
potem iz izreka 2 sledi, da .
Odgovor: .
Primer 4. Trikotnik ima strani , in . Poiščite in , Kje so polmeri opisanih in včrtanih krogov, v tem zaporedju.
rešitev. Najprej izračunajmo površino. Ker , potem iz formule (1) dobimo .
Znano je, da. Zato in.
Primer 5. Poiščite površino štirikotnika, vpisanega v krog, če , , In .
rešitev. Iz primera pogojev sledi, da . Nato po izreku 3 dobimo .
Primer 6. Poiščite površino štirikotnika, vpisanega v krog, katerega stranice so , , in .
rešitev. Ker in , Enakost velja v štirikotniku. Znano pa je, da je obstoj takšne enakosti nujen in zadosten pogoj za to, da je danemu štirikotniku mogoče vpisati krog. V zvezi s tem lahko za izračun površine uporabite formulo (10), iz katere sledi.
Za samostojno in kakovostno pripravo na sprejemne izpite s področja reševanja šolskih geometrijskih nalog lahko učinkovito uporabite učbenike, navedena v seznamu priporočene literature.
1. Gotman E.G. Problemi v planimetriji in metode za njihovo reševanje. – M.: Izobraževanje, 1996. – 240 str.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Geometrija trikotnika v problemih. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2009. – 208 str.
3. Zbirka nalog iz matematike za kandidate na visokih šolah / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir in izobraževanje, 2013. – 608 str.
4. Suprun V.P. Matematika za srednješolce: dodatni sklopi šolskega kurikuluma. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.
Imate še vprašanja?
Če želite dobiti pomoč od mentorja -.
blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.
Heronova formula Heronova formula
izraža območje s trikotnika skozi dolžine njegovih treh strani A, b in z in polperimeter r = (A + b + z)/2: . Ime je dobil po Heronu iz Aleksandrije.
FORMULA HERONAHERONA FORMULA, izraža območje S trikotnika skozi dolžine njegovih treh strani a, b in c in polperimeter p = (a + b + c)/2
Ime je dobil po Heronu iz Aleksandrije.
Enciklopedični slovar. 2009 .
Oglejte si, kaj je "Heronova formula" v drugih slovarjih:
Izraža ploščino S trikotnika skozi dolžine njegovih treh strani a, b in c ter polobsega P = (a + b + c)/2Imenuje se po Heronu iz Aleksandrije... Veliki enciklopedični slovar
Formula, ki izraža površino trikotnika skozi njegove tri stranice. Če so namreč a, b, C dolžine stranic trikotnika, S pa njegova ploščina, potem je G. f. ima obliko: kjer p označuje polobseg trikotnika G. f.... ...
Formula, ki izraža površino trikotnika skozi njegove stranice a, b, c: kjer Poimenovan po Heronu (c. 1. stoletje našega štetja), A. B. Ivanov ... Matematična enciklopedija
Izrazi ploščino 5 trikotnika skozi dolžine njegovih treh strani a, b in c ter polobsega p = (a + b + c)/2: s = kvadrat. koren p(p a)(p b)(p c). Poimenovan po Heronu iz Aleksandrije ... Naravoslovje. Enciklopedični slovar
- ... Wikipedia
Omogoča izračun površine trikotnika (S) glede na njegove stranice a, b, c: kjer je p polobod trikotnika: . Dokaz, kjer je kot trikoten... Wikipedia
Izraža površino štirikotnika, včrtanega v krog, kot funkcijo dolžin njegovih stranic. Če ima včrtan štirikotnik dolžine stranic in polobod, potem je njegovo območje ... Wikipedia
Ta članek nima povezav do virov informacij. Podatki morajo biti preverljivi, sicer so lahko vprašljivi in izbrisani. Ta članek lahko uredite in dodate povezave do verodostojnih virov. Ta oznaka... ... Wikipedia
- (Heronus Alexandrinus) (letnica rojstva in smrti neznana, verjetno 1. stoletje), starogrški znanstvenik, ki je deloval v Aleksandriji. Avtor del, v katerih je sistematično orisal glavne dosežke starega veka na področju uporabne mehanike, V... ... Velika sovjetska enciklopedija
Aleksandrijec (Heronus Alexandrinus) (letnice rojstva in smrti neznani, verjetno 1. stoletje), starogrški znanstvenik, ki je deloval v Aleksandriji. Avtor del, v katerih je sistematično orisal glavne dosežke starega veka na področju... ... Velika sovjetska enciklopedija
Ta formula vam omogoča izračun površine trikotnika glede na njegove stranice a, b in c:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),kjer je p polobseg trikotnika, tj. p = (a + b + c)/2.
Formula je poimenovana po starogrškem matematiku Heronu iz Aleksandrije (približno 1. stoletje). Heron je obravnaval trikotnike s celimi stranicami, katerih ploščine so prav tako cela števila. Takšni trikotniki se imenujejo Heronovi trikotniki. Na primer, to so trikotniki s stranicami 13, 14, 15 ali 51, 52, 53.
Obstajajo analogi Heronove formule za štirikotnike. Ker ima problem konstruiranja štirikotnika vzdolž njegovih stranic a, b, c in d več kot eno rešitev, za izračun površine štirikotnika v splošnem primeru ni dovolj samo poznati dolžine strani. Vnesti morate dodatne parametre ali uvesti omejitve. Na primer, območje včrtanega štirikotnika najdemo po formuli: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)
Če je štirikotnik načrtovan in obpisan hkrati, je njegova ploščina z uporabo preprostejše formule: S=√(abcd).
Heron iz Aleksandrije - grški matematik in mehanik.
Prvi je izumil avtomatska vrata, avtomatsko lutkovno gledališče, avtomat, hitrostrelni samonakladalni samostrel, parno turbino, avtomatske dekoracije, napravo za merjenje dolžine cest (starodavni odometer) itd. Bil je prvi, ki je ustvaril programabilne naprave (gred z zatiči, okoli katere je navita vrv).
Študiral je geometrijo, mehaniko, hidrostatiko in optiko. Glavna dela: metrika, pnevmatika, avtomatopoetika, mehanika (delo je v celoti ohranjeno v arabskem prevodu), katoptrika (znanost o zrcalih; ohranjeno le v latinskem prevodu) itd. Leta 1814 je bil najden Heronov spis »O dioptriji«, ki določa pravila merjenja zemljišč, ki dejansko temeljijo na uporabi pravokotnih koordinat. Heron je uporabil dosežke svojih predhodnikov: Evklida, Arhimeda, Stratona iz Lampsakusa. Veliko njegovih knjig je nepovratno izgubljenih (zvitki so bili shranjeni v Aleksandrijski knjižnici).
V svoji razpravi Mehanika je Heron opisal pet vrst preprostih strojev: vzvod, vrata, klin, vijak in blok.
V svoji razpravi Pnevmatika je Heron opisal različne sifone, pametno oblikovane posode in avtomate, ki jih poganja stisnjen zrak ali para. To je eolipil, ki je bila prva parna turbina - krogla, ki se vrti s silo curkov vodne pare; avtomat za odpiranje vrat, avtomat za prodajo "svete" vode, gasilska črpalka, vodne orgle, mehansko lutkovno gledališče.
Knjiga "O dioptriji" opisuje dioptrijo - najpreprostejšo napravo, ki se uporablja za geodetska dela. Heron v svoji razpravi podaja pravila za merjenje zemljišč, ki temeljijo na uporabi pravokotnih koordinat.
Heron v Katoptriku utemeljuje naravnost svetlobnih žarkov z neskončno visoko hitrostjo širjenja. Heron obravnava različne vrste ogledal, pri čemer posebno pozornost namenja cilindričnim ogledalom.
Heronova "Metrika" ter "Geometrija" in "Stereometrija", izvlečena iz nje, so referenčne knjige o uporabni matematiki. Med informacijami, ki jih vsebuje Metrica:
Formule za ploščine pravilnih mnogokotnikov.
Prostornine pravilnih poliedrov, piramide, stožca, prisekanega stožca, torusa, sferičnega segmenta.
Heronova formula za izračun površine trikotnika iz dolžin njegovih stranic (odkril jo je Arhimed).
Pravila za numerično reševanje kvadratnih enačb.
Algoritmi za pridobivanje kvadratnih in kubičnih korenov.
Heronova knjiga "Definicije" je obsežna zbirka geometrijskih definicij, ki večinoma sovpadajo z definicijami Evklidovih "Elementov".
Sposobnost matematičnega razmišljanja – ena najplemenitejših človekovih sposobnosti.
Irski dramatik Bernard Shaw
Heronova formula
V šolski matematiki je Heronova formula zelo priljubljena, katere uporaba vam omogoča izračun površine trikotnika na podlagi njegovih treh strani. Hkrati malo študentov ve, da obstaja podobna formula za izračun površine štirikotnikov, vpisanih v krog. Ta formula se imenuje Brahmaguptina formula. Malo znana je tudi formula za izračun ploščine trikotnika iz njegovih treh višin, katere izpeljava izhaja iz Heronove formule.
Izračun površine trikotnikov
Spustite v trikotnik strani, in . Potem velja naslednji izrek (Heronova formula).
1. izrek.
kje .
Dokaz. Pri izpeljavi formule (1) bomo uporabili znane geome trične formule
, (2)
. (3)
Iz formul (2) in (3) dobimo in . Od takrat
. (4)
Če označimo potem iz enakosti (4) sledi formula (1). Izrek je dokazan.
Razmislimo zdaj o vprašanju izračuna površine trikotnika glede na to, da so znane njegove tri višine, In .
Izrek 2. Površina se izračuna po formuli
. (5)
Dokaz. Od , in , potem
V tem primeru iz formule (1) dobimo
oz
Iz tega sledi formula (5). Izrek je dokazan.
Izračun površine štirikotnikov
Razmislimo o posplošitvi Heronove formule na primer izračuna površine štirikotnikov. Vendar je treba takoj opozoriti, da je takšna posplošitev možna le za štirikotnike, ki so vpisani v krog.
Naj štirikotnik ima stranice , , in .
če je štirikotnik, vpisan v krog, potem je izrek 3 (Brahmaguptina formula) resničen.
Izrek 3. kvadrat izračunano po formuli
kje .
Dokaz.Štirikotniku narišimo diagonalo in dobimo dva trikotnika in . Če za te trikotnike uporabimo kosinusni izrek, ki je enakovreden formuli (3), potem lahko zapišemo
Ker je štirikotnik vpisan v krog, je vsota njegovih nasprotnih kotov enaka, tj. .
Ker oz potem iz (7) dobimo
oz
. (8)
Od takrat. Vendar in zato
Ker , potem iz formul (8) in (9) sledi
Če postavite potem od tu dobimo formulo (6). Izrek je dokazan.
Če je cikličen štirikotnikje tudi opisano, potem je formula (6) bistveno poenostavljena.
Izrek 4. Ploščino štirikotnika, včrtanega v en krog in obkroženega okrog drugega, izračunamo po formuli
. (10)
Dokaz. Ker je štirikotniku vpisan krog, veljajo enakosti:
V tem primeru , , , in formulo (6) zlahka pretvorimo v formulo (10). Izrek je dokazan.
Preidimo na primere geometrijskih problemov, katerega rešitev je izvedena na podlagi uporabe dokazanih izrekov.
Primeri reševanja problemov
Primer 1. Najdi območje, če , in .
rešitev. Ker tukaj, potem po izreku 1 dobimo
Odgovor: .
Opomba, če so stranice trikotnikaprevzamejo iracionalne vrednote, nato pa izračunamo njeno površinoz uporabo formule (1) ponavadi je neučinkovito. V tem primeru je priporočljivo neposredno uporabiti formuli (2) in (3).
Primer 2. Poiščite območje, če , In .
rešitev. Ob upoštevanju formul (2) in (3) dobimo
Od , torej oz.
Odgovor: .
Primer 3. Poiščite območje, če , In .
rešitev. ker
potem iz izreka 2 sledi, da .
Odgovor: .
Primer 4. Trikotnik ima strani , in . Poiščite in , Kje so polmeri opisanih in včrtanih krogov, v tem zaporedju.
rešitev. Najprej izračunajmo površino. Ker , potem iz formule (1) dobimo .
Znano je, da. Zato in.
Primer 5. Poiščite površino štirikotnika, vpisanega v krog, če , , In .
rešitev. Iz primera pogojev sledi, da . Nato po izreku 3 dobimo .
Primer 6. Poiščite površino štirikotnika, vpisanega v krog, katerega stranice so , , in .
rešitev. Ker in , Enakost velja v štirikotniku. Znano pa je, da je obstoj takšne enakosti nujen in zadosten pogoj za to, da je danemu štirikotniku mogoče vpisati krog. V zvezi s tem lahko za izračun površine uporabite formulo (10), iz katere sledi.
Za samostojno in kakovostno pripravo na sprejemne izpite s področja reševanja šolskih geometrijskih nalog lahko učinkovito uporabite učbenike, navedena v seznamu priporočene literature.
1. Gotman E.G. Problemi v planimetriji in metode za njihovo reševanje. – M.: Izobraževanje, 1996. – 240 str.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Geometrija trikotnika v problemih. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2009. – 208 str.
3. Zbirka nalog iz matematike za kandidate na visokih šolah / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir in izobraževanje, 2013. – 608 str.
4. Suprun V.P. Matematika za srednješolce: dodatni sklopi šolskega kurikuluma. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.
Imate še vprašanja?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do izvirnega vira.
Predhodne informacije
Najprej predstavimo informacije in zapise, ki jih bomo potrebovali pozneje.
Obravnavali bomo trikotnik $ABC$ z ostrima kotoma $A$ in $C$. Vanj narišimo višino $BH$. Vstavimo naslednji zapis: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(slika 1).
Slika 1.
Uvedimo brez dokaza izrek o površini trikotnika.
1. izrek
Območje trikotnika je definirano kot polovica produkta dolžine njegove stranice in nanj narisane višine, tj.
Heronova formula
Predstavimo in dokažimo izrek o iskanju ploščine trikotnika iz treh znanih strani. Ta formula se imenuje Heronove formule.
2. izrek
Naj imamo dane tri stranice trikotnika $a,\ b\ in\ c$. Potem je območje tega trikotnika izraženo na naslednji način
kjer je $p$ polobseg danega trikotnika.
Dokaz.
Uporabili bomo zapis, predstavljen na sliki 1.
Razmislite o trikotniku $ABH$. Po Pitagorovem izreku dobimo
Očitno je $HC=AC-AH=b-x$
Razmislite o trikotniku $\CBH$. Po Pitagorovem izreku dobimo
\ \ \
Izenačimo vrednosti kvadrata višine iz obeh dobljenih razmerij
\ \ \
Iz prve enakosti poiščemo višino
\ \ \ \ \ \
Ker je polobod enak $p=\frac(a+b+c)(2)$, to je $a+b+c=2p$, potem
\ \ \ \
Po izreku 1 dobimo
Izrek je dokazan.
Primeri problemov z uporabo Heronove formule
Primer 1
Poiščite ploščino trikotnika, če so njegove strani $3$ cm, $6$ cm in $7$ cm.
rešitev.
Najprej poiščimo polobseg tega trikotnika
Po izreku 2 dobimo
odgovor:$4\sqrt(5)$.
