Capacitatea de a gândi matematic - una dintre cele mai nobile abilități ale omului.
Dramaturgul irlandez Bernard Shaw
Formula lui Heron
În matematica școlară, formula lui Heron este foarte populară, a cărei utilizare vă permite să calculați aria unui triunghi pe baza celor trei laturi ale sale. În același timp, puțini studenți știu că există o formulă similară pentru calcularea ariei patrulaterelor înscrise într-un cerc. Această formulă se numește formula lui Brahmagupta. De asemenea, puțin cunoscută este formula pentru calcularea ariei unui triunghi de la cele trei altitudini ale sale, a cărei derivare decurge din formula lui Heron.
Calcularea ariei triunghiurilor
Lăsați un triunghi laturi, si . Atunci următoarea teoremă (formula lui Heron) este valabilă.
Teorema 1.
Unde .
Dovada. Când derivăm formula (1), vom folosi geome cunoscute formule tric
, (2)
. (3)
Din formulele (2) și (3) obținem și . De atunci
. (4)
Dacă notăm apoi din egalitate (4) urmează formula (1). Teorema a fost demonstrată.
Să luăm acum în considerare problema calculării ariei unui triunghi dat fiind , că cele trei înălţimi ale sale sunt cunoscute, Și .
Teorema 2. Suprafața se calculează folosind formula
. (5)
Dovada. De la , și , atunci
În acest caz, din formula (1) obținem
sau
Din aceasta rezultă formula (5). Teorema a fost demonstrată.
Calcularea ariei patrulaterelor
Să luăm în considerare o generalizare a formulei lui Heron în cazul calculării ariei patrulaterelor. Cu toate acestea, trebuie remarcat imediat că o astfel de generalizare este posibilă numai pentru patrulatere care sunt înscrise într-un cerc.
Fie patrulaterul are laturi , , și .
Dacă este un patrulater, înscris într-un cerc, atunci teorema 3 (formula lui Brahmagupta) este adevărată.
Teorema 3. Pătrat calculate prin formula
Unde .
Dovada. Să desenăm o diagonală într-un patrulater și să obținem două triunghiuri și . Dacă aplicăm acestor triunghiuri teorema cosinusului, care este echivalentă cu formula (3), atunci putem scrie
Deoarece un patrulater este înscris într-un cerc, suma unghiurilor sale opuse este egală, adică. .
Din moment ce sau apoi din (7) obţinem
Sau
. (8)
De atunci. Totuşi şi prin urmare
Deoarece , atunci din formulele (8) și (9) rezultă
Daca pui apoi de aici obținem formula (6). Teorema a fost demonstrată.
Dacă un patrulater cicliceste de asemenea descris, atunci formula (6) este simplificată semnificativ.
Teorema 4. Aria unui patrulater înscris într-un cerc și circumscris în jurul altuia se calculează prin formula
. (10)
Dovada. Deoarece un cerc este înscris într-un patrulater, egalitățile sunt valabile:
În acest caz, , , , și formula (6) este ușor convertită în formula (10). Teorema a fost demonstrată.
Să trecem la considerarea exemplelor de probleme de geometrie, a cărui rezolvare se realizează pe baza aplicării teoremelor dovedite.
Exemple de rezolvare a problemelor
Exemplul 1. Găsiți zonă, dacă , și .
Soluţie. Deoarece aici, atunci conform teoremei 1 obținem
Raspuns: .
Nota, dacă laturile unui triunghiia valori iraționale, calculându-i apoi ariafolosind formula (1) de obicei este ineficient. În acest caz, este recomandabil să aplicați direct formulele (2) și (3).
Exemplul 2. Găsiți zona dacă , și .
Soluţie.Ținând cont de formulele (2) și (3), obținem
De când , atunci sau .
Raspuns: .
Exemplul 3. Găsiți zona dacă , și .
Soluţie. Din moment ce,
apoi din Teorema 2 rezultă că .
Raspuns: .
Exemplul 4. Un triunghi are laturi și . Găsiți și , unde sunt razele cercurilor circumscrise și, respectiv, înscrise.
Soluţie. Mai întâi, să calculăm aria. Deoarece , atunci din formula (1) obținem .
Se știe că . Prin urmare și.
Exemplul 5. Aflați aria unui patrulater înscris într-un cerc dacă , și .
Soluţie. Din condiţiile exemplu rezultă că . Apoi, conform teoremei 3, obținem .
Exemplul 6. Aflați aria unui patrulater înscris într-un cerc ale cărui laturi sunt , și .
Soluţie. Deoarece și , egalitatea este valabilă în patrulater. Cu toate acestea, se știe că existența unei asemenea egalități este o condiție necesară și suficientă pentru faptul că un cerc poate fi înscris într-un patrulater dat. În acest sens, pentru a calcula suprafața, puteți folosi formula (10), din care rezultă.
Pentru pregătirea independentă și de înaltă calitate pentru examenele de admitere în domeniul rezolvării problemelor de geometrie școlară, puteți utiliza în mod eficient manualele, enumerate în lista literaturii recomandate.
1. Gotman E.G. Probleme de planimetrie și metode de rezolvare a acestora. – M.: Educație, 1996. – 240 p.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Geometria unui triunghi în probleme. – M.: CD „Librocom” / URSS, 2009. – 208 p.
3. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegii / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Pace și educație, 2013. – 608 p.
4. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.
Mai ai întrebări?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Formula lui Heron Formula lui Heron
exprimă zonă s a unui triunghi prin lungimile celor trei laturi ale sale O, bŞi Cuși semiperimetrul r = (O + b + Cu)/2: . Numit după Heron din Alexandria.
FORMULA HERONAFORMULA HERONA, zona exprima S a unui triunghi prin lungimile celor trei laturi ale sale o, bŞi cși semiperimetrul P = (o + b + c)/2
Numit după Heron din Alexandria.
Dicţionar Enciclopedic. 2009 .
Vedeți ce este „formula lui Heron” în alte dicționare:
Exprimă aria S a unui triunghi prin lungimile celor trei laturi ale sale a, b și c și semiperimetrul P = (a + b + c)/2Numit după Heron din Alexandria... Dicţionar enciclopedic mare
Formula care exprimă aria unui triunghi prin cele trei laturi ale sale. Și anume, dacă a, b, C sunt lungimea laturilor unui triunghi și S este aria acestuia, atunci G. f. are forma: unde p reprezintă semiperimetrul triunghiului G. f.... ...
O formulă care exprimă aria unui triunghi prin laturile sale a, b, c: unde este numit după Heron (c. secolul I d.Hr.), A. B. Ivanov ... Enciclopedie matematică
Exprimă aria 5 a unui triunghi prin lungimile celor trei laturi ale sale a, b și c și semiperimetrul p = (a + b + c)/2: s = pătrat. rădăcină p(p a)(p b)(p c). Numit după Heron din Alexandria... Știința naturii. Dicţionar Enciclopedic
- ... Wikipedia
Vă permite să calculați aria unui triunghi (S) pe baza laturilor sale a, b, c: unde p este semiperimetrul triunghiului: . Dovada unde unghiul este triunghiular... Wikipedia
Exprimă aria unui patrulater înscris într-un cerc în funcție de lungimile laturilor sale. Dacă un patrulater înscris are lungimi de laturi și un semiperimetru, atunci aria lui este ... Wikipedia
Acest articol nu are link-uri către surse de informații. Informațiile trebuie să fie verificabile, altfel pot fi puse sub semnul întrebării și șterse. Puteți edita acest articol pentru a adăuga link-uri către surse autorizate. Acest marcaj... ... Wikipedia
- (Heronus Alexandrinus) (ani de naștere și de moarte necunoscuti, probabil secolul I), om de știință grec antic care a lucrat în Alexandria. Autorul unor lucrări în care a conturat sistematic principalele realizări ale lumii antice în domeniul mecanicii aplicate, V... ... Marea Enciclopedie Sovietică
Alexandrian (Heronus Alexandrinus) (ani de naștere și de moarte necunoscuți, probabil secolul I), om de știință grec antic care a lucrat în Alexandria. Autorul unor lucrări în care a conturat sistematic principalele realizări ale lumii antice în domeniul... ... Marea Enciclopedie Sovietică
Această formulă vă permite să calculați aria unui triunghi pe baza laturilor sale a, b și c:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),unde p este semiperimetrul triunghiului, i.e. p = (a + b + c)/2.
Formula este numită după matematicianul grec antic Heron din Alexandria (circa secolul I). Heron a considerat triunghiuri cu laturile întregi ale căror zone sunt tot numere întregi. Astfel de triunghiuri se numesc triunghiuri heroniene. De exemplu, acestea sunt triunghiuri cu laturile 13, 14, 15 sau 51, 52, 53.
Există analogi ai formulei lui Heron pentru patrulatere. Datorită faptului că problema construirii unui patrulater de-a lungul laturilor sale a, b, c și d nu are o soluție unică, pentru a calcula aria unui patrulater în cazul general, nu este suficient doar să cunoașteți lungimile laturilor. Trebuie să introduceți parametri suplimentari sau să impuneți restricții. De exemplu, aria unui patrulater înscris se găsește prin formula: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)
Dacă un patrulater este înscris și circumscris în același timp, aria lui este folosind o formulă mai simplă: S=√(abcd).
Stârcul Alexandriei - matematician și mecanic grec.
El a fost primul care a inventat uși automate, un teatru automat de păpuși, un automat, o arbaletă cu autoîncărcare cu foc rapid, o turbină cu abur, decorațiuni automate, un dispozitiv de măsurare a lungimii drumurilor (un odometru antic) etc. El a fost primul care a creat dispozitive programabile (un arbore cu știfturi cu o frânghie înfășurată în jurul lui).
A studiat geometria, mecanica, hidrostatica și optica. Lucrări principale: Metrica, Pneumatică, Automatopoetică, Mecanică (opera se păstrează integral în traducere arabă), Catoptrics (știința oglinzilor; păstrată doar în traducere latină) etc. În 1814 a fost găsit eseul lui Heron „Despre dioptrie”, care stabilește regulile de topografie, de fapt bazate pe utilizarea coordonatelor dreptunghiulare. Heron a folosit realizările predecesorilor săi: Euclid, Arhimede, Strato de Lampsacus. Multe dintre cărțile sale sunt pierdute iremediabil (sulele au fost păstrate în Biblioteca din Alexandria).
În tratatul său „Mecanică”, Heron a descris cinci tipuri de mașini simple: pârghie, poartă, pană, șurub și bloc.
În tratatul său „Pneumatică”, Heron a descris diverse sifoane, vase proiectate inteligent și automate conduse de aer comprimat sau abur. Acesta este un eolipil, care a fost prima turbină cu abur - o bilă rotită de forța jeturilor de vapori de apă; o mașină pentru deschiderea ușilor, o mașină pentru vânzarea apei „sfânte”, o pompă de incendiu, o orgă de apă, un teatru de păpuși mecanic.
Cartea „Despre dioptrie” descrie dioptria - cel mai simplu dispozitiv folosit pentru lucrări geodezice. Heron stabilește în tratatul său regulile de topografie a terenurilor, bazate pe utilizarea coordonatelor dreptunghiulare.
În Catoptricus, Heron justifică dreptatea razelor de lumină cu o viteză de propagare infinit de mare. Heron ia în considerare diferite tipuri de oglinzi, acordând o atenție deosebită oglinzilor cilindrice.
„Metrica” lui Heron și „Geometria” și „Stereometria” extrase din acesta sunt cărți de referință despre matematică aplicată. Printre informațiile conținute în Metrica:
Formule pentru ariile poligoanelor regulate.
Volume de poliedre regulate, piramidă, con, trunchi de con, tor, segment sferic.
Formula lui Heron pentru calcularea ariei unui triunghi din lungimile laturilor sale (descoperită de Arhimede).
Reguli pentru rezolvarea numerică a ecuațiilor pătratice.
Algoritmi pentru extragerea rădăcinilor pătrate și cubice.
Cartea lui Heron „Definiții” este o colecție extinsă de definiții geometrice, în cea mai mare parte coincid cu definițiile „Elementelor” lui Euclid.
Capacitatea de a gândi matematic - una dintre cele mai nobile abilități ale omului.
Dramaturgul irlandez Bernard Shaw
Formula lui Heron
În matematica școlară, formula lui Heron este foarte populară, a cărei utilizare vă permite să calculați aria unui triunghi pe baza celor trei laturi ale sale. În același timp, puțini studenți știu că există o formulă similară pentru calcularea ariei patrulaterelor înscrise într-un cerc. Această formulă se numește formula lui Brahmagupta. De asemenea, puțin cunoscută este formula pentru calcularea ariei unui triunghi de la cele trei altitudini ale sale, a cărei derivare decurge din formula lui Heron.
Calcularea ariei triunghiurilor
Lăsați un triunghi laturi, si . Atunci următoarea teoremă (formula lui Heron) este valabilă.
Teorema 1.
Unde .
Dovada. Când derivăm formula (1), vom folosi geome cunoscute formule tric
, (2)
. (3)
Din formulele (2) și (3) obținem și . De atunci
. (4)
Dacă notăm apoi din egalitate (4) urmează formula (1). Teorema a fost demonstrată.
Să luăm acum în considerare problema calculării ariei unui triunghi dat fiind , că cele trei înălţimi ale sale sunt cunoscute, Și .
Teorema 2. Suprafața se calculează folosind formula
. (5)
Dovada. De la , și , atunci
În acest caz, din formula (1) obținem
sau
Din aceasta rezultă formula (5). Teorema a fost demonstrată.
Calcularea ariei patrulaterelor
Să luăm în considerare o generalizare a formulei lui Heron în cazul calculării ariei patrulaterelor. Cu toate acestea, trebuie remarcat imediat că o astfel de generalizare este posibilă numai pentru patrulatere care sunt înscrise într-un cerc.
Fie patrulaterul are laturi , , și .
Dacă este un patrulater, înscris într-un cerc, atunci teorema 3 (formula lui Brahmagupta) este adevărată.
Teorema 3. Pătrat calculate prin formula
Unde .
Dovada. Să desenăm o diagonală într-un patrulater și să obținem două triunghiuri și . Dacă aplicăm acestor triunghiuri teorema cosinusului, care este echivalentă cu formula (3), atunci putem scrie
Deoarece un patrulater este înscris într-un cerc, suma unghiurilor sale opuse este egală, adică. .
Din moment ce sau apoi din (7) obţinem
Sau
. (8)
De atunci. Totuşi şi prin urmare
Deoarece , atunci din formulele (8) și (9) rezultă
Daca pui apoi de aici obținem formula (6). Teorema a fost demonstrată.
Dacă un patrulater cicliceste de asemenea descris, atunci formula (6) este simplificată semnificativ.
Teorema 4. Aria unui patrulater înscris într-un cerc și circumscris în jurul altuia se calculează prin formula
. (10)
Dovada. Deoarece un cerc este înscris într-un patrulater, egalitățile sunt valabile:
În acest caz, , , , și formula (6) este ușor convertită în formula (10). Teorema a fost demonstrată.
Să trecem la considerarea exemplelor de probleme de geometrie, a cărui rezolvare se realizează pe baza aplicării teoremelor dovedite.
Exemple de rezolvare a problemelor
Exemplul 1. Găsiți zonă, dacă , și .
Soluţie. Deoarece aici, atunci conform teoremei 1 obținem
Raspuns: .
Nota, dacă laturile unui triunghiia valori iraționale, calculându-i apoi ariafolosind formula (1) de obicei este ineficient. În acest caz, este recomandabil să aplicați direct formulele (2) și (3).
Exemplul 2. Găsiți zona dacă , și .
Soluţie.Ținând cont de formulele (2) și (3), obținem
De când , atunci sau .
Raspuns: .
Exemplul 3. Găsiți zona dacă , și .
Soluţie. Din moment ce,
apoi din Teorema 2 rezultă că .
Raspuns: .
Exemplul 4. Un triunghi are laturi și . Găsiți și , unde sunt razele cercurilor circumscrise și, respectiv, înscrise.
Soluţie. Mai întâi, să calculăm aria. Deoarece , atunci din formula (1) obținem .
Se știe că . Prin urmare și.
Exemplul 5. Aflați aria unui patrulater înscris într-un cerc dacă , și .
Soluţie. Din condiţiile exemplu rezultă că . Apoi, conform teoremei 3, obținem .
Exemplul 6. Aflați aria unui patrulater înscris într-un cerc ale cărui laturi sunt , și .
Soluţie. Deoarece și , egalitatea este valabilă în patrulater. Cu toate acestea, se știe că existența unei asemenea egalități este o condiție necesară și suficientă pentru faptul că un cerc poate fi înscris într-un patrulater dat. În acest sens, pentru a calcula suprafața, puteți folosi formula (10), din care rezultă.
Pentru pregătirea independentă și de înaltă calitate pentru examenele de admitere în domeniul rezolvării problemelor de geometrie școlară, puteți utiliza în mod eficient manualele, enumerate în lista literaturii recomandate.
1. Gotman E.G. Probleme de planimetrie și metode de rezolvare a acestora. – M.: Educație, 1996. – 240 p.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Geometria unui triunghi în probleme. – M.: CD „Librocom” / URSS, 2009. – 208 p.
3. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegii / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Pace și educație, 2013. – 608 p.
4. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.
Mai ai întrebări?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Informații preliminare
Mai întâi, să introducem informațiile și notațiile de care vom avea nevoie mai târziu.
Vom considera un triunghi $ABC$ cu unghiuri ascuțite $A$ și $C$. Să desenăm înălțimea $BH$ în ea. Să introducem următoarea notație: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(Fig. 1).
Figura 1.
Să introducem, fără dovezi, teorema privind aria unui triunghi.
Teorema 1
Aria unui triunghi este definită ca jumătate din produsul lungimii laturii sale și al înălțimii trase pe acesta, adică
Formula lui Heron
Să introducem și să demonstrăm o teoremă despre găsirea ariei unui triunghi din trei laturi cunoscute. Această formulă se numește Formulele lui Heron.
Teorema 2
Să ne dăm trei laturi ale unui triunghi $a,\ b\ și\ c$. Apoi aria acestui triunghi este exprimată după cum urmează
unde $p$ este semiperimetrul triunghiului dat.
Dovada.
Vom folosi notația introdusă în figura 1.
Luați în considerare triunghiul $ABH$. Conform teoremei lui Pitagora, obținem
Este evident că $HC=AC-AH=b-x$
Luați în considerare triunghiul $\CBH$. Conform teoremei lui Pitagora, obținem
\ \ \
Să echivalăm valorile înălțimii pătrate din cele două rapoarte obținute
\ \ \
Din prima egalitate găsim înălțimea
\ \ \ \ \ \
Deoarece semiperimetrul este egal cu $p=\frac(a+b+c)(2)$, adică $a+b+c=2p$, atunci
\ \ \ \
Prin teorema 1, obținem
Teorema a fost demonstrată.
Exemple de probleme folosind formula lui Heron
Exemplul 1
Aflați aria unui triunghi dacă laturile sale sunt $3$ cm, $6$ cm și $7$ cm.
Soluţie.
Să găsim mai întâi semiperimetrul acestui triunghi
Prin teorema 2, obținem
Răspuns:$4\sqrt(5)$.
